《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

9 - 2 如图，在□ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M，M是AD的中点，连接BM.求证：BM平分∠ABC.

答案：
证明:如图，延长BA，CM交于点E；
　　　　　　　　　　　　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE//CD.
　
∴∠D = ∠EAM，∠DCM = ∠E.
　
∵M是AD的中点，
∴DM = AM.
　
∴$\triangle CDM\cong\triangle EAM$(AAS).
∴CM = EM；
　
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM = ∠DCM，
　
∴∠E = ∠BCM，
∴BE = BC.
又CM = EM，
∴BM平分∠ABC.

例10 如图，在□ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD.求证：
(1)AE = CF；(2)AE//CF.


思路分析

证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB，AD//CB，∠BAD = ∠BCD.
∴∠ADE = ∠CBF.
∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，∠BCF = $\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠DAE = ∠BCF.
∴△ADE≌△CBF(ASA).
∴AE = CF.
(2)由(1)知△ADE≌△CBF，
∴∠AED = ∠CFB.
∴AE//CF.
解题策略由平行四边形的性质得到对角相等、对边平行且相等，利用这些条件证明三角形全等，进而证明线段相等、平行.

答案：

10 - 1 如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.求证：BE⊥CF.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB//CD，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°.
　
∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，
∴$∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠BCF=\frac{1}{2}∠BCD$，
　
∴$∠EBC + ∠BCF=\frac{1}{2}(∠ABC + ∠BCD)=\frac{1}{2}×180° = 90°$，
　
∴∠BGC = 90°，
∴BE⊥CF.

10 - 2 [漳州期末]如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE = CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，求证：C是BE的中点.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
　
∴AB = CD，AD//BE，
∴∠DAE = ∠E.
　
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE = ∠BAE，
　
∴∠BAE = ∠E，
∴AB = BE，
∴BE = CD.
(2)由
(1)得AB = BE，
　　又BF⊥AE，
∴AF = EF.
　　在$\triangle ADF$和$\triangle ECF$中，$\begin{cases}∠DAF = ∠E \\AF = EF \\∠DFA = ∠CFE\end{cases}$，
　
∴$\triangle ADF\cong\triangle ECF$(ASA)，
∴AD = EC.
　
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC = AD.
∴BC = EC，
∴C是BE的中点.