《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5 如图，一次函数$y_1 = -x - 2$与$y_2 = x - 4$的图象交于点$A$.

（1）求点$A$的坐标；
（2）若一次函数$y_1 = -x - 2$与$y_2 = x - 4$的图象分别交$x$轴于点$B$，$C$，求$\triangle ABC$的面积；
（3）直接写出当$y_1\geq y_2$时$x$的取值范围.
解：（1）解方程组$\begin{cases}y = -x - 2\\y = x - 4\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = -3\end{cases}$.
所以点$A$的坐标为$(1,-3)$.
（2）当$y_1 = 0$时，$-x - 2 = 0$，解得$x = -2$，则点$B$的坐标为$(-2,0)$.
当$y_2 = 0$时，$x - 4 = 0$，解得$x = 4$，则点$C$的坐标为$(4,0)$.所以$BC = 4 - (-2) = 6$.
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot|y_A|=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$.
（3）根据图象可知，当$y_1\geq y_2$时，$x\leq1$.
解题策略 求直线与坐标轴围成的图形面积的方法：先求出直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标，再利用数形结合的方法求解，计算时要注意线段长与坐标之间的关系.求两直线的交点坐标，就是将两函数联立成方程组，求方程组的解.

答案：

5 - 1 [阜阳颍州区期末]如图，已知直线$l_1:y = x + 3$与过点$A(3,0)$的直线$l_2$交于点$C(1,m)$，且与$x$轴交于点$B$，与$y$轴交于点$D$.
（1）求直线$l_2$的解析式；
（2）若点$D$关于$x$轴的对称点为$P$，求$\triangle PBC$的面积.

答案： 解：
(1)把 $C(1,m)$ 代入 $y = x + 3$，得 $m = 1+3 = 4$，所以 $C(1,4)$.
设直线 $l_2$ 的解析式为 $y = kx + b(k\neq0)$，则 $\begin{cases}k + b = 4\\3k + b = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-2\\b = 6\end{cases}$，
所以直线 $l_2$ 的解析式为 $y=-2x + 6$.
(2)对于 $y = x + 3$，当 $x = 0$ 时，$y = 3$，所以 $D(0,3)$；当 $y = 0$ 时，$x + 3 = 0$，所以 $x=-3$，所以 $B(-3,0)$.
因为点 $P$，$D$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $P(0,-3)$，所以 $PD = 3-(-3)=6$.
所以 $S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PCD}=\frac{1}{2}PD\cdot|x_B|+\frac{1}{2}PD\cdot|x_C|=\frac{1}{2}\times6\times3+\frac{1}{2}\times6\times1 = 12$.

例6 [教材P100习题19.2T15变式题][自贡中考改编]甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.为了减少库存，甲、乙两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元的那部分价格打8折.
（1）以$x$（单位：元）表示商品原价，$y$（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出$y$关于$x$的函数解析式；
（2）如何选择这两家商场去购物更省钱？
解：（1）由题意可得$y_{甲}=0.9x$.
当$0\leq x\leq100$时，$y_{乙}=x$；当$x＞100$时，$y_{乙}=100+(x - 100)\times0.8 = 0.8x + 20$.
综上所述，$y_{乙}=\begin{cases}x(0\leq x\leq100)\\0.8x + 20(x＞100)\end{cases}$.
（2）当$0\leq x\leq100$时，$0.9x＜x$，此时选择去甲商场购物更省钱；
当$x＞100$时，若$0.9x＜0.8x + 20$，则$100＜x＜200$，此时选择去甲商场购物更省钱；
若$0.9x = 0.8x + 20$，则$x = 200$，此时去两家商场购物花费一样；
若$0.9x＞0.8x + 20$，则$x＞200$，此时选择去乙商场购物更省钱.
解题策略 先根据实际问题列出函数解析式，再根据函数值的大小建立不等关系，求出自变量的取值范围.

答案：

6 - 1 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为$x$时所需费用为$y$（单位：元），选择这两种卡消费时，$y$与$x$的函数关系如图所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，$y$关于$x$的函数解析式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.

答案： 解：
(1)设 $y_{甲}=k_1x(k_1\neq0)$，
根据题意得 $5k_1 = 100$，解得 $k_1 = 20$，所以 $y_{甲}=20x$；
设 $y_{乙}=k_2x + 100(k_2\neq0)$，
根据题意得 $20k_2 + 100 = 300$，解得 $k_2 = 10$，所以 $y_{乙}=10x + 100$.
(2)①令 $y_{甲}＜y_{乙}$，即 $20x＜10x + 100$，解得 $x＜10$，
所以当入园次数小于 10 时，选择甲种消费卡比较合算；
②令 $y_{甲}=y_{乙}$，即 $20x = 10x + 100$，解得 $x = 10$，
所以当入园次数等于 10 时，选择两种消费卡花费一样；
③令 $y_{甲}＞y_{乙}$，即 $20x＞10x + 100$，解得 $x＞10$，
所以当入园次数大于 10 时，选择乙种消费卡比较合算.