《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1 ★☆☆ 使代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 3}}+\sqrt{4 - 3x}$有意义的非正整数$x$有(　　)
A.5个　　
　B.4个　　
　C.3个　　
　D.2个
错解:由题意可得$x + 3\geq0$且$4 - 3x\geq0$，解得$-3\leq x\leq\frac{4}{3}$，故非正整数$x$可取$-3,-2,-1,0$共4个.故选B.
错解剖析:忽略分母$\sqrt{x + 3}\neq0$.
正解:由题意可得$x + 3\gt0$且$4 - 3x\geq0$，解得$-3\lt x\leq\frac{4}{3}$.
故非正整数$x$可取$-2,-1,0$共3个.故选C.

答案：

例2 ★☆☆ 计算:$\sqrt{(-3)^2}+(\sqrt{3})^2$.
错解:原式$=-3 + 3 = 0$.
错解剖析:$\sqrt{a^2}=\vert a\vert,(\sqrt{a})^2 = a(a\geq0)$，不能混淆.
正解:原式$=\vert -3\vert + 3 = 3 + 3 = 6$.

答案：

例3 ★☆☆ 计算:$\frac{2}{5}\sqrt{x^2y}\cdot\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{y}}\div\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{x}}$.
错解:原式$=(\frac{2}{5}\times\frac{5}{4}\times2)\sqrt{x^2y\cdot\frac{x}{y}\cdot\frac{1}{x}}=\sqrt{x^2}=x$.
错解剖析:二次根式的除法运算应是系数除以系数，被开方数除以被开方数，不能系数相除，被开方数相乘.
正解:原式$=(\frac{2}{5}\times\frac{5}{4}\times2)\sqrt{x^2y\div\frac{x}{y}\div\frac{1}{x}}=\sqrt{x^4}=x^2$.

答案：

例4 ★☆☆ 计算:$\sqrt{6}\div(\sqrt{3}+\sqrt{2})$.
错解:原式$=\sqrt{6}\div\sqrt{3}+\sqrt{6}\div\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$.
错解剖析:将分配律$a(b + c)=ab + ac$错用于除法.只有乘法才有分配律，除法没有分配律.
正解:原式$=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$.

答案：