《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 ★★☆[转化思想][河池南丹县期末]如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 20$，$BC = 15$，$CD = 7$，$AD = 24$，$\angle B = 90^{\circ}$.求四边形$ABCD$的面积.

解：如图，连接$AC$.$\because \angle B = 90^{\circ}$，$AB = 20$，$BC = 15$，$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625$.$\because AD^{2}+CD^{2}=24^{2}+7^{2}=625$，$\therefore AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，$\therefore \triangle ADC$是直角三角形，且$\angle D$是直角.
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}\times20\times15+\frac{1}{2}\times24\times7 = 234$.
解题策略 对边不平行的四边形的面积，常转化为两个三角形的面积来求解.

答案：

6 - 1 ★★☆[重庆潼南区期末]若一个三角形的三边长之比为$5:12:13$，且周长为$60\ cm$，则它的面积为______$cm^{2}$.

答案： 120 【解析】设这个三角形的三边长分别为$5x\ cm$，$12x\ cm$，$13x\ cm$，则$5x + 12x+13x = 60$，
∴$x = 2$，
∴这个三角形的三边长分别为$10\ cm$，$24\ cm$，$26\ cm$.
∵$10^{2}+24^{2}=26^{2}$，
∴这个三角形为直角三角形，
∴它的面积$S=\frac{1}{2}\times10\times24 = 120(cm^{2})$.

6 - 2 ★★☆[教材P34习题17.2T5变式题][咸宁通城县期末]学校要对如图所示的一块地$ABCD$进行绿化，已知$AD = 4\ m$，$CD = 3\ m$，$AD\perp DC$，$AB = 13\ m$，$BC = 12\ m$.
（1）连接$AC$，试说明$\triangle ABC$是直角三角形；
（2）求这块地的面积.

答案：
解：
(1)如图，连接$AC$.
∵$AD\perp DC$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5(m)$.
在$\triangle ABC$中，$AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=169 = 13^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$.
(2)这块地的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot BC-\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}\times5\times12-\frac{1}{2}\times4\times3 = 24(m^{2})$.

例7 ★★☆如图，已知$\angle A = 90^{\circ}$，$AC = AB = 4$，$CD = 2$，$BD = 6$，则$\angle ACD =$______$^{\circ}$.

解析：$\because \angle A = 90^{\circ}$，$AC = AB = 4$，$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$.$\because CD = 2$，$BD = 6$，$\therefore CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$，$\therefore \triangle BCD$是直角三角形，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ACD=\angle BCD-\angle ACB = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.
答案：45
解题策略 当题目中出现的已知线段比较多时，我们优先考虑利用勾股定理及其逆定理求线段长和角度.

答案：

7 - 1 ★★☆[达州渠县期末]如图，$A$，$B$，$C$三点都在边长为1的正方形网格的格点上，则$\angle BAC$的度数为( )


A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案：
B 【解析】如图，连接$BC$.
∵$AC^{2}=3^{2}+1^{2}=10$，$AB^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
∴$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$.
∴$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ABC = 90^{\circ}$.
∵$AB = BC$，
∴$\angle BAC = 45^{\circ}$.

7 - 2 ★★☆如图，在四边形$ABCD$中，已知$AB:BC:CD:AD = 2:2:3:1$，且$\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle DAB$的度数为______.

答案：
135° 【解析】如图，连接$AC$.设$AD = k(k\gt0)$，则$AB = 2k$，$BC = 2k$，$CD = 3k$.
∵$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = BC$，
∴$\angle BAC = 45^{\circ}$，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=4k^{2}+4k^{2}=8k^{2}$.
∵$AC^{2}+AD^{2}=8k^{2}+k^{2}=9k^{2}=CD^{2}$，
∴$\triangle ACD$是直角三角形，$\angle DAC = 90^{\circ}$.
∴$\angle DAB=\angle BAC+\angle DAC = 135^{\circ}$.