《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1 [数形结合思想]如图，利用构造直角三角形和作弧的方法在数轴上找到了表示$\sqrt{2}$的点$A$。试利用这个方法，在数轴上找出表示$-\sqrt{13}$的点$B$。

解：如图，点$B$即为所求。

解题策略 在数轴上找表示$\sqrt{n}(-\sqrt{n})$的点，需要先将$n$写成$n=a^{2}+b^{2}(a,b,n$均为正整数$)$的形式，然后在数轴上画出两直角边长分别为$a$，$b$的直角三角形，再以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，交数轴于原点右(左)侧的点表示的数即为$\sqrt{n}(-\sqrt{n})$。

答案：

举一反三训练
1-1 如图，数轴上点$A$对应的数为2，$AB\perp OA$，且$AB = 1$，在原点$O$右侧截取$OC = OB$，则$OC$的长为( )


A.3
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$

答案： D

1-2 如图，点$B$，$D$在数轴上，$O$是原点，$OB = 3$，$OD = BC = 1$，$\angle OBC = 90^{\circ}$，以点$D$为圆心，以$DC$长为半径画弧，交数轴原点右侧的部分于点$A$，则点$A$表示的实数是________。

答案： $\sqrt{17}-1$　[解析]由题意可得$BD = 4$，$BC = 1$，则$CD = \sqrt{BD^{2}+BC^{2}} = \sqrt{4^{2}+1^{2}} = \sqrt{17}$，$\therefore AD = CD = \sqrt{17}$，$OA = AD - OD = \sqrt{17}-1$。故点$A$表示的实数为$\sqrt{17}-1$。

1-3 如图，数轴上点$A$所表示的数为$a$，那么$a$的值为________。

答案：
$-1 - \sqrt{10}$　[解析]如图，由勾股定理，得$BC = \sqrt{1^{2}+3^{2}} = \sqrt{10}$，即$AC = BC = \sqrt{10}$，$\therefore a = -1 - \sqrt{10}$

1-4 在下面的数轴上画出表示$\sqrt{5}$，$-\sqrt{29}$的点。

答案：
解：如图所示。