《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例12★★(1)如图,P是四边形ABCD 内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=
∠CPD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD 的中点,猜想四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(2)若改变(1)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,猜想四边形EFGH的形状是______.(不需证明)
　　　　　

答案： 解:
(1)四边形EFGH是菱形.证明如下:如图,连接AC,BD交于点O.

∵∠APB=∠CPD,
∴:APB+∠APD=
∠CPD+∠APD,即∠BPD=∠APC.
又PA=PB,PC=PD,

∴△APC≌△BPD(SAS),
∴AC=BD.

∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，
∴EF=GH=$\frac{1}{2}$C,EH=FG=$\frac{1}{2}$BD,

∴EF=FG=GH=EH,

∴四边形EFGH是菱形.

(2)正方形

举一反三训练12−1|★☆[武汉江汉区期中]顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为菱形,则四边形ABCD一定满足(　　　)
　
A.AB=BC　　　　B.AB⊥BC
　
C.AC=BD　　　　D.AC⊥BD

答案： C

12−2★[周口西华县期末]如图,AC,BD是四边形ABCD的两条对角线,且AC⊥BD,已知AC=10,BD=8,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,则EG=________.

答案： $\sqrt{41}$