《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例3 ★★☆ 计算:
(1)$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{3}}\times\sqrt{15}+\sqrt{20}$；
(2)[大连中考]$(\sqrt{3}-2)^2+\sqrt{12}+6\sqrt{\frac{1}{3}}$.
解:(1)原式$=\sqrt{\frac{48}{3}}-\sqrt{\frac{1}{3}\times15}+2\sqrt{5}=4-\sqrt{5}+2\sqrt{5}=4+\sqrt{5}$；
(2)原式$=3 - 4\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7$.
解题策略:进行二次根式的混合运算时，要先确定运算顺序，再灵活运用运算律.运算过程中要正确使用乘法公式.

答案：

3-1 ★☆☆ [重庆中考B卷]下列计算中，正确的是(　　)
A.$5\sqrt{7}-2\sqrt{7}=21$
　B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=3\sqrt{2}$　
　D.$\sqrt{15}\div\sqrt{5}=3$

答案： C

3-2 ★★☆ 计算:
(1)$(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})+(\sqrt{2}-\sqrt{6})^2$；
(2)$\sqrt{\frac{3}{2}}\times\sqrt{24}-\frac{10+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}+\sqrt{18^2 - 12^2}$.

答案： 解:
(1)原式$=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2-2\sqrt{12}+(\sqrt{6})^2=6 - 5 + 2 - 4\sqrt{3}+6=9 - 4\sqrt{3}$；
(2)原式$=\sqrt{\frac{3}{2}\times24}-\frac{10\sqrt{5}+5}{5}+\sqrt{(18 + 12)(18 - 12)}=6-(2\sqrt{5}+1)+\sqrt{30\times6}=6 - 2\sqrt{5}-1+6\sqrt{5}=5 + 4\sqrt{5}$。

例4 ★★☆ [福建中考]先化简，再求值:$(\frac{2m + 1}{m}-1)\div\frac{m^2 - 1}{m}$，其中$m=\sqrt{3}+1$.
解:原式$=\frac{2m + 1 - m}{m}\cdot\frac{m}{m^2 - 1}=\frac{m + 1}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}=\frac{1}{m - 1}$.
当$m=\sqrt{3}+1$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{3}+1 - 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解题策略:解此类题一般先将代数式进行化简，再将二次根式代入求值.有时为了简化计算过程，也可以将代数式进行变形(利用因式分解或乘法公式)再求解.

答案：

4-1★☆☆[黄冈期末]已知$x=2-\sqrt {3}$,则代数式$x^2+(2+\sqrt 3)x$=____.

答案： $8 - 4\sqrt{3}$

4-2 ★★☆若$x=3+\sqrt {5},y=\sqrt {5}-3$,则$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}$=___,$x^2-3xy+y^2$=__.

答案： $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ 40

4-3★★☆已知$A=(\frac mn-\frac nm)·\frac {\sqrt 3mn}{m-n}$
(1)化简A;(2)若$m+n-2\sqrt 3=0$,求A的值.

答案： 解：
(1)$A = (\frac{m}{n}-\frac{n}{m})\cdot\frac{\sqrt{3}mn}{m - n}$
=$\frac{m^2 - n^2}{mn}\cdot\frac{\sqrt{3}mn}{m - n}$
=$\frac{(m + n)(m - n)}{mn}\cdot\frac{\sqrt{3}mn}{m - n}$
=$\sqrt{3}(m + n)$
 
(2)因为$m + n-2\sqrt{3}=0$， 所以$m + n = 2\sqrt{3}$。
当$m + n = 2\sqrt{3}$时，$A=\sqrt{3}\times2\sqrt{3}=6$