《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC,BD相交于点O,OA=OB,DE平分∠ADC交BC 于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=1,求△OEC的面积.
　　　　　
(1)证明:∵AD//BC,∴∠ABC+∠BAD=
180°,∠ADC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=20A,BD=20B.
∵OA=OB,∴AC=BD,通过作高，求OEC ∴▱ABCD是矩形.　　的面积,“
(2)解:如图,过点O作OF⊥BC于点F.∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1,0B=0C.
∵OF⊥BC,∴BF=CF.
又OB=OD,∴OF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∵AD//BC,∴∠ADE=∠CED,
∴∠CDE=∠CED,∴CE=CD=1,
∴S△OEc=$\frac{1}{2}$CE.OF=$\frac{1}{2}$x1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$.
T解题策略证明一个四边形是矩形,要根据图形的特点以及已知条件选择判定方法.如果能确定四边形是平行四边形，那么只需证对角线相等或有一个内角是直角.

答案：

6−1　　[玉林玉州区期末]如图,▱ABCD 中,P是AB边上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交
AD边于点Q,连接CQ.
　(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形
ABCD是矩形;
　(2)在(1)的条件下,当AP=4,AD=
　12时,求AQ的长.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP,
∴∠CPQ=∠A.
　
∵PQ⊥CP,
∴∠A=∠CPQ=90°,
　
∴▱ABCD是矩形.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠D=∠CPQ=90°.
　　在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,
　　(CD==cCP;
　
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL),
　
∴DQ=PQ.
　　设AQ=x,则DQ=PQ=12−x.
　　在Rt△APQ中,AQ²+AP²=PQ²,
　
∴x²+4²=(12−x)²,解得x=$\frac{16}{3}$,
　
∴AQ的长是$\frac{16}{3}$

6−2　★[信阳淮滨县期末]如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,
AC,BC的中点,且BC=2AF.
　(1)求证:四边形ADFE为矩形;
　(2)若∠C=30°,AF=2,求矩形ADFE 的周长.
　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明:如图,连接DE.
　
∵E,F分别是边AC,BC的中
　　　　　　　　　　　　　 点,
∴EF//AB,EF=$\frac{1}{2}$AB.
　
∵点D是边AB的中点,
　
∴AD=$\frac{1}{2}$B.
∴AD=EF.
　
∴四边形ADFE为平行四边形,
　
∵点D,E分别是边AB,AC的中点,
　
∴DE=$\frac{1}{2}$BC.
　
∵BC=2AF,
∴DE=AF,
∴□ADFE为矩形
(2)解;
∵四边形ADFE为矩形,
　44　　状元大课堂.答案深度解析
∴∠BAC=90°.
　
∵AF=2,
∴BC=2AF=4.
　
∵∠C=30°,
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=2,
　
∴AC=　$\sqrt{BC²−AB²}$=　$\sqrt{4²−22}$=2√3,
　
∴AE=$\frac{1}{2}$C=$\sqrt{3}$
　　又EF=$\frac{1}{2}$AB=1,
　
∴矩形ADFE的周长=2(AE+EF)=2$\sqrt{3}$+2.