《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例4 [一题多解]已知直线$y = kx + b$经过$A(-1,2)$和$B(-2,0)$两点，则关于$x$的不等式组$0＜kx + b＜-2x$的解集为( )
A.$-2＜x＜-1$ B.$-1＜x＜0$ C.$x＜-1$ D.$x＞-1$
思路分析
方法1：数形结合法→画$y = kx + b$草图→利用$(-1,2)$画$y = -2x$→利用双限制求自变量的取值范围
方法2：待定系数法求$y = kx + b$数的方法→解不等式组求解
【解析】解法1：如图，在平面直角坐标系中画出直线$y = kx + b$，易知直线$y = -2x$经过点$(-1,2)$，故可画出直线$y = -2x$.
从图象可得，不等式组$0＜kx + b＜-2x$的解集为$-2＜x＜-1$.

解法2：将$A(-1,2)$和$B(-2,0)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b = 2\\-2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 4\end{cases}$，则直线$AB$的解析式为$y = 2x + 4$.可得不等式组$\begin{cases}2x + 4＞0\\2x + 4＜-2x\end{cases}$，解得$-2＜x＜-1$.
答案：A
技巧点拨 本题有关键点$A(-1,2)$，显性条件是它在直线$y = kx + b$上，隐性条件是它是直线$y = kx + b$与$y = -2x$的交点.

答案：

4 - 1 如图，直线$y = kx + b$经过点$A(3,0)$，$B(1,2)$，则关于$x$的不等式组$0\leq kx + b＜2x$的解集为________.

答案：
$1＜x\leq3$ 【解析】画草图如图，由图象可得 $0\leq kx + b＜2x$ 的解集为 $1＜x\leq3$.

4 - 2 如图，已知一次函数$y = kx + b$的图象经过$A$，$B$两点.根据图象回答下列问题：
（1）直接写出方程$kx + b = 0$的解；
（2）直接写出不等式$kx + b＞2$的解集；
（3）求出一次函数$y = kx + b$的解析式.

答案： 解：
(1)由图象可得方程 $kx + b = 0$ 的解为 $x = - 2$.
(2)由图象可得不等式 $kx + b＞2$ 的解集为 $x＞2$.
(3)把 $A(-2,0)$，$B(2,2)$ 分别代入 $y = kx + b$，
得 $\begin{cases}-2k + b = 0\\2k + b = 2\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$.
所以这个函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}x + 1$.

4 - 3 [襄阳樊城区期末]如图，已知直线$y_1 = kx + b$经过点$A(5,0)$，$B(1,4)$，与直线$y_2 = 2x - 4$交于点$C$.
（1）求直线$y_1$的解析式以及$y_2$与$x$轴的交点$D$的坐标；
（2）求点$C$的坐标；
（3）根据图象，直接写出当$y_1＞y_2＞0$时$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)因为直线 $y_1 = kx + b$ 经过点 $A(5,0)$，$B(1,4)$，
所以 $\begin{cases}5k + b = 0\\k + b = 4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k=-1\\b = 5\end{cases}$，
所以直线 $y_1$ 的解析式为 $y_1=-x + 5$.
对于直线 $y_2 = 2x - 4$，当 $y_2 = 0$ 时，$2x - 4 = 0$，解得 $x = 2$，所以 $D(2,0)$.
(2)联立 $\begin{cases}y=-x + 5\\y = 2x - 4\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$，所以 $C(3,2)$.
(3)由图可知，当 $y_1＞y_2＞0$ 时 $x$ 的取值范围是 $2＜x＜3$.