《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

1.★★☆ [广西北部湾经济区中考][阅读理解]如图①,l₁//l₂,△ABC的面积与△DBC的面积相等吗?为什么?

解:相等.在△ABC和△DBC中,分别作AE⊥l₂,DF⊥l₂,垂足分别为E,F.
∴∠AEF = ∠DFC = 90°,∴AE//DF.
∵l₁//l₂,∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AE = DF.又S_{△ABC}=1/2BC·AE,S_{△DBC}=1/2BC·DF,∴S_{△ABC}=S_{△DBC}.
【类比探究】如图②,在正方形ABCD的右侧作等腰三角形CDE,CE = DE,AD = 4,连接AE,求△ADE的面积.
解:过点E作EF⊥CD于点F,连接AF.请将余下的求解步骤补充完整.
【拓展应用】如图③,在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG,点B,C,E在同一直线上,AD = 4,连接BD,BF,DF,求△BDF的面积.

答案：
 解：【类比探究】补充步骤如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD = AD = 4，∠ADC = 90°.
∵ DE = CE，EF⊥CD，
∴ DF = CF = \(\frac{1}{2}\)CD = 2，∠ADC = ∠EFD = 90°，
∴ AD∥EF，
∴ S_{△ADE}=S_{△ADF}=\(\frac{1}{2}\)AD·DF=\(\frac{1}{2}\times4\times2 = 4\).
【拓展应用】如图③，连接CF.
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ BC = CD = AD = 4，∠BCD = 90°，∠BDC = 45°， ∠GCF = 45°，
∴ ∠BDC = ∠GCF，
∴ BD∥CF，
∴ S_{△BDF}=S_{△BDC}=\(\frac{1}{2}\)BC·CD = \(\frac{1}{2}\times4\times4 = 8\).

2.★★☆ 小明在研究正方形的有关问题时,发现有这样一道题:“如图①,在正方形ABCD中,E是CD的中点,F是BC边上一点,且∠FAE = ∠EAD.你能得出什么样的正确结论?”
(1)小明经过研究发现:EF⊥AE.请你对小明所发现的结论加以证明.
(2)小明之后又继续对该问题进行研究,将“正方形”分别改为“矩形”“菱形”和“平行四边形”(分别对应图②、图③、图④),其他条件均不变,认为仍然有“EF⊥AE”.你同意小明的观点吗?若同意,请取图③为例加以证明;若不同意,请说明理由.

答案：
（1）证明：如图①，延长AE交BC的延长线于点M. 在正方形ABCD中，
∵ AD∥BC，
∴ ∠EAD = ∠M. 又∠AED = ∠MEC，DE = CE，
∴ △AED≌△MEC（AAS）.
∴ AE = ME.
∵ ∠EAD = ∠FAE，
∴ ∠FAE = ∠M，
∴ AF = FM.
∴ EF⊥AE. 

（2）解：同意. 证明如下： 如图③，延长AE交BC的延长线于点M. 在菱形ABCD中，
∵ AD∥BC，
∴ ∠EAD = ∠M. 又∠AED = ∠MEC，DE = CE，
∴ △AED≌△MEC（AAS）.
∴ AE = ME.
∵ ∠EAD = ∠FAE，
∴ ∠FAE = ∠M，
∴ AF = FM.
∴ EF⊥AE.