《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

12. 如图，$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$，$B(2,5)$，$C(6,1)$。若函数$y = \frac{k}{x}(k\neq 0)$在第一象限内的图象与$\triangle ABC$有交点，则$k$的取值范围是(A)


A.$2\leq k\leq \frac{49}{4}$
B.$6\leq k\leq 10$
C.$2\leq k\leq 6$
D.$2\leq k\leq \frac{25}{2}$

答案： A 解析:本题考查反比例函数的性质.当函数y = $\frac{k}{x}$的图象经过点A(1,2)时，k取得最小值，此时k = 1×2 = 2.设BC所在直线的解析式为y = ax + b(a ≠ 0)，将B(2,5)，C(6,1)代入，得$\begin{cases}2a + b = 5\\6a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 7\end{cases}$，
∴y = -x + 7.令-x + 7 = $\frac{k}{x}$，整理，得x^2 - 7x + k = 0，当(-7)^2 - 4k = 0时，k = $\frac{49}{4}$，此时k取得最大值.综上，k的取值范围是2 ≤ k ≤ $\frac{49}{4}$.故选A.

13. 计算$\sqrt{18}÷\sqrt{2}$的结果是3。

答案： 3

14. 点$A(1,-5)$关于原点的对称点坐标为(-1,5)。

答案： (-1,5)

15. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形$ABCD$的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数等于30°。

答案： 30° 解析:本题考查锐角三角函数.过点A作AE⊥BC于点E.当平行四边形面积为矩形面积的一半时，AE = $\frac{1}{2}$AB，
∴sin∠ABC = $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠ABC = 30°，即平行四边形ABCD的一个最小内角的度数等于30°.

16. 如图，已知点$A$的坐标为$(\sqrt{3},1)$，$B$为$x$轴正半轴上一动点，$C$是$OB$的中点，则在点$B$运动的过程中，$AB + BC$的最小值为$\sqrt{3}$。

答案：
$\sqrt{3}$ 解析:本题考查轴对称的性质、锐角三角函数、含30°角的直角三角形的性质、最值问题.如图，过点B作BD⊥OA于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，OA'，则AB = A'B，OA = OA'，∠AOB = ∠AOA'.
∵A($\sqrt{3}$,1)，OE = $\sqrt{3}$，AE = 1，
∴tan∠AOE = $\frac{AE}{OE}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOE = 30°，OA = 2AE = 2，BD = $\frac{1}{2}$OB.
∵C是OB的中点，BC = $\frac{1}{2}$OB，
∴AB + BC = A'B + BD，
∴当A'，B，D三点共线时，AB + BC取得最小值，为A'D的长.在Rt△OA'D中，OA' = 2，∠AOA' = 60°，
∴A'D = $\frac{\sqrt{3}}{2}$OA' = $\sqrt{3}$，即AB + BC的最小值为$\sqrt{3}$.
　　　　　　

17. （本小题满分7分）
已知整式$P = x^2 - 2(2x - x^2)+1$。
（1）化简$P$；
（2）若$P = 0$，利用判别式判断方程实数根的情况。

答案： 解$:(1)P = x^2 - 4x + 2x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1. 3$分
(2)当P = 0时，$3x^2 - 4x + 1 = 0.$
∵$Δ = (-4)^2 - 4×3×1 = 4 ＞ 0，$
∴此方程有两个不相等的实数根. 7分