《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

7. 直线$a$，$b$，$c$按照如图所示方式摆放，$a$与$c$相交于点$O$，将直线$a$绕点$O$按照逆时针方向旋转$n^{\circ}(0 ＜ n ＜ 90)$后，$a\perp c$，则$n$的值为(C)

A.60
B.40
C.30
D.20

答案：
C 解析:本题考查三角形外角的性质.如图，旋转之前，∠1 = 130° - 70° = 60°.旋转之后，a⊥c，即∠1 = 90°，直线a绕点O逆时针旋转的度数为90° - 60° = 30°，即n = 30.故选C.
　　　　　　

8. 将多边形的边数由$n$增加到$(n + x)$后，内角和增加了$540^{\circ}$，则$x$的值为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C 解析:本题考查多边形的内角和公式,由题意,得(n + x - 2)×180° - (n - 2)×180° = 540°，解得x = 3.故选C.

9. 下列结果不正确的是(A)

A.$(-3^3)^2 = 3^5$
B.$3^2 + 3^2 + 3^2 = 3^3$
C.$3^4÷ 3^{-2} = 3^6$
D.$3^{2025} - 3^{2024}$能被2整除

答案： A 解析:本题考查有理数的乘方运算、幂的运算$,(-3^3)^2 = 3^6，$故A不正确,符合题意$;3^2 + 3^2 + 3^2 = 3×3^2 = 3^3，$故B正确,不符合题意$;3^4 ÷ 3^-2 = 3^6，$故C正确,不符合题意$;3^2025 - 3^2024 = 3^2024×(3 - 1) = 2×3^2024，$
∴$3^2025 - 3^2024$能被2整除,故D正确,不符合题意,故选A.

10. 如图，点$P$是正六边形$ABCDEF$内部一个动点，$AB = 1$cm，则点$P$到这个正六边形六条边的距离之和为(C)

A.6 cm
B.3 cm
C.$3\sqrt{3}$ cm
D.$6\sqrt{3}$ cm

答案：
C 解析:本题考查正六边形的性质.如图，连接BD，过点P作PG⊥AB于点G，延长GP交DE于点H，过点C作CM⊥BD于点M.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC = CD = AB = 1cm，∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = 120°，
∴∠CBD = ∠CDB = 30°，BM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$cm，∠ABD = ∠BDE = 90°，四边形BDHG是矩形，BD = $\sqrt{3}$cm，PH⊥DE，GH = BD = $\sqrt{3}$cm，点P到AB，DE的距离之和为$\sqrt{3}$cm.同理可得点P到AF，CD的距离之和为$\sqrt{3}$cm，点P到EF，BC的距离之和为$\sqrt{3}$cm，即点P到这个正六边形六条边的距离之和为3$\sqrt{3}$cm.故选C
　　　　　

11. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$D$为$AB$的中点，分别以点$A$，$C$为圆心，$AC$长为半径画弧，交于点$E$，分别以点$A$，$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，交于点$F$，连接$DE$，$DF$。则以下4个结论：①$F$，$A$，$E$三点共线；②四边形$BDEC$为平行四边形；③$AC\perp DE$；④$S_{\triangle ACE}:S_{四边形BCEF} = 1:6$。
其中正确的是(B)

A.只有①②
B.只有①②③
C.只有③④
D.①②③④

答案： B 解析:本题考查尺规作图、等边三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的判定及性质,
∵∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，
∴∠BAC = 60°.由作图痕迹可得AC = AE = CE，AB = AF = BF，
∴△ACE、△ABF均是等边三角形，∠ACE = ∠CAE = 60°，∠BAF = 60°，
∴∠EAF = 180°，即F，A，E三点共线，故①正确;
∵∠ABC + ∠ACB + ∠ACE = 180°，
∴AB//CE.
∵D为AB的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$AB.
∵在Rt△ABC中，∠ABC = 30°，
∴AC = $\frac{1}{2}$AB，
∴CE = $\frac{1}{2}$AB，
∴BD = CE，
∴四边形BDEC是平行四边形，故②正确;
∵BC//DE，AC⊥BC，
∴AC⊥DE，故③正确;设AC = 1，则AB = 2，BC = $\sqrt{3}$，
∵S_△ACE = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}$，S_四边形BCEF = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$ + $\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△ACE:S_四边形BCEF = 1:7，故④错误,故选B.