《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

19. (本小题满分9分)
2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的$25\ 000$名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门. 本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目. 赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析(评分分数用$x$表示，分为$A$，$B$，$C$，$D$四个等级：$A$：$x ＜ 70$，$B$：$70 \leq x ＜ 80$，$C$：$80 \leq x ＜ 90$，$D$：$90 \leq x \leq 100$).
组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得$A$，$B$两个等级人数相等.
请你帮忙解决下列问题：
(1)此次调查共抽取了名选手；
(2)组委会规定：若选手所评分数的中位数低于$80$分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改，并说明理由；
(3)赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项. 若从男、女冠军$4$人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率.

答案： 19.解：
(1)$800$
1分
(2)不需要整改.
2分
理由：由题意可知，A等级$40$人，B等级$40$人，C等级$800 × \frac{126^{\circ}}{360^{\circ}} = 280$（人），
所以D等级$800 - 40 - 40 - 280 = 440$（人）.
因为共有$800$人，所以中位数应是将分数从小到大排序后位于第$400$和第$401$位的分数的平均数，所以中位数应该落在D等级，必然大于$80$分，
所以不需要整改.
5分
(3)将全程马拉松男子组冠军、全程马拉松女子组冠军、半程马拉松男子组冠军、半程马拉松女子组冠军分别简写为全男，全女，半男，半女，从四人中随机抽取两人，列表如下.
全男 全女 半男 半女
全男 —— $(全男,全女)$ $(全男,半男)$ $(全男,半女)$
全女 $(全女,全男)$ —— $(全女,半男)$ $(全女,半女)$
半男 $(半男,全男)$ $(半男,全女)$ —— $(半男,半女)$
半女 $(半女,全男)$ $(半女,全女)$ $(半女,半男)$ ——
由表可知共有$12$种等可能的结果，其中恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的结果有$2$种，
$\therefore P(恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
9分

20. （本小题满分9分）
如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜$AB$，其中$A$，$B$的坐标分别为$(1,4)$，$(5,4)$. 从光源$P$处发射光线$l_1$：$y = kx + k$（$k ＞ 0$）照射到平面镜$AB$上（含端点）.
（1）请说明：入射光线$l_1$必过点$(-1,0)$；
（2）求入射光线$l_1$照射到镜面$AB$上时，$k$的取值范围；
（3）一条感光带$MN$置于$x$轴上，其中$M$，$N$的坐标分别为$(13,0)$，$(18,0)$，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光. 请判断入射光线$l_1$经平面镜$AB$反射后的光线$l_2$能否使感光带发光？若能，请直接写出$k$的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜$AB$至少向右平移多少个单位长度反射光线$l_2$才能使感光带发光.

答案： 20.解：
(1)当$x = -1$时，$y = kx + k = -k + k = 0$，
$\therefore$入射光线$l_{1}$必过点$(-1,0)$.
2分
(2)将$A(1,4)$代入$y = kx + k$，
得$k + k = 4$，解得$k = 2$.
将$B(5,4)$代入$y = kx + k$，
得$5k + k = 4$，解得$k = \frac{2}{3}$.
$\therefore k$的取值范围是$\frac{2}{3} \leq k \leq 2$.
5分
(3)入射光线$l_{1}$经平面镜$AB$反射后的光线$l_{2}$不能使感光带发光.
6分
理由：入射光线$l_{1}$照射到镜面上的点$B$时，根据“反射角$=$入射角”可知反射后的光线$l_{2}$与$x$轴的交点坐标为$(11,0)$，而点$M$的坐标为$(13,0)$，所以$l_{2}$不能使感光带发光.
8分
将平面镜$AB$至少向右平移$1$个单位长度反射光线$l_{2}$才能使感光带发光.
9分