《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
已知抛物线$L_1:y = x^2 - 2ax - 2(x\geq 0)$，抛物线$L_2:y = x^2 - 2ax - 4(x ＜ 0)$，图象$L_1$与图象$L_2$组合成图象$G$。
（1）如图，当$a = -1$时，
①求图象$G$最低点的纵坐标的值；
②点$P(b,4)$在图象$G$上，求$b$的值；
（2）已知$A(0,-3)$，$B(\frac{3}{2},-3)$，当图象$G$与线段$AB$只有一个公共点时，确定$a$的取值范围；
（3）若图象$G$有且只有4个点到$x$轴的距离等于5时，直接写出$a$的取值范围。

答案： 解:
(1)①当a = -1时，抛物线L_1：y = x^2 + 2x - 2(x ≥ 0)，抛物线L_2：y = x^2 + 2x - 4(x ＜ 0).
结合题图可知当x = -$\frac{2}{2×1}$ = -1时，图象G最低点的纵坐标的值为(-1)^2 + 2×(-1) - 4 = -5. 2分
②将P(b,4)代入y = x^2 + 2x - 2，得4 = b^2 + 2b - 2，
解得b_1 = -1 + $\sqrt{7}$，b_2 = -1 - $\sqrt{7}$(舍去). 4分
将P(b,4)代入y = x^2 + 2x - 4，得4 = b^2 + 2b - 4，
解得b_3 = -4，b_4 = 2(舍去).
综上，b的值为-1 + $\sqrt{7}$或-4. 6分
(2)
∵线段AB与图象G只有一个公共点，
∴该公共点的横坐标大于0.
∴图象L_1与线段AB只有一个公共交点.
①当图象L_1与y = -3只有一个公共点时，x^2 - 2ax - 2 = -3，
∴x^2 - 2ax + 1 = 0，Δ = 0，即a = ±1.
当a = -1时，交点为(-1,-3)，不符合
当a = 1时，交点为(1,-3)，符合. 7分
②当x = $\frac{3}{2}$，y ＜ -3时，即$\frac{9}{4}$ - 3a - 2 ＜ -3，
∴a ＞ $\frac{13}{12}$
综上所述，a = 1或a ＞ $\frac{13}{12}$. 9分
(3)a ＜ -1或a ＞ $\sqrt{3}$. 11分