《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

13. 分解因式：a² − 3a =a(a-3)_。

答案： 13.$a(a - 3)$

14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h = 30t − 5t²(0 ≤ t ≤ 6)，则小球运动中的最大高度是45_m。

答案： 14.45 解析：本题考查二次函数的性质。$\because h = 30t - 5t^{2} = -5(t - 3)^{2} + 45$，$\therefore$小球运动中的最大高度是45m。

15. 现有A，B，C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图所示）。若要拼成一个长为3a + 2b，宽为2a + b的矩形，则需要A种纸片和C种纸片共13_张。

答案： 15.13 解析：本题考查整式的乘法。$\because (3a + 2b)(2a + b) = 6a^{2} + 7ab + 2b^{2}$，$\therefore$需要A种纸片6张、C种纸片7张，共$6 + 7 = 13$(张)。

16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC = 6，∠ABC = 120°。点A与点A′关于过点O的直线l对称，直线l与AD交于点P。当点A′落在BD的延长线上时，AP的值为$3\sqrt{3} - 3$_。

答案：
16.$3\sqrt{3} - 3$ 解析：本题考查菱形的性质、轴对称的性质。如图，连接$A^{\prime}P$。$\because$四边形ABCD是菱形，$\therefore AC \perp BD$，$OA = \frac{1}{2}AC = 3$，$\angle ADC = \angle ABC = 120^{\circ}$，$\therefore \angle ADO = 60^{\circ}$，$\therefore OD = \frac{\sqrt{3}}{3}OA = \sqrt{3}$，$\therefore AD = 2OD = 2\sqrt{3}$。根据轴对称的性质可得$OA^{\prime} = OA = 3$，$\therefore A^{\prime}D = 3 - \sqrt{3}$，$\angle A^{\prime} = \angle OAD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle A^{\prime}PD = \angle ADO - \angle A^{\prime} = 30^{\circ}$，$\therefore PD = A^{\prime}D = 3 - \sqrt{3}$，$\therefore AP = AD - PD = 3\sqrt{3} - 3$。

17. （本小题满分7分）
在如图所示的数轴上，已知AC = 6，BC = 2，点B表示的数为−1。
(1) 写出点A，C所表示的数；
(2) 将点A向右平移x个单位长度后，若AC = 3，求x的值。

答案： 17.解：
(1)点A所表示的数是$- 5$，点C所表示的数是$1$。4分
(2)$\because AC = 3$，$\therefore$平移后点A表示的数是$-2$或$4$。 5分
$\therefore - 5 + x = - 2$或$- 5 + x = 4$。
$\therefore x = 3$或$9$。 7分

18. （本小题满分8分）
规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“如意式”。例如：5² − 3² = 2×8，13² − 11² = 6×8。
验证：21² − 19²是“如意式”；
说明：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“如意式”。

答案： 18.解：验证：$\because 21^{2} - 19^{2} = 441 - 361 = 80 = 10 × 8$，$\therefore 21^{2} - 19^{2}$是“如意式”。 4分
说明：设任意两个连续奇数为$2n + 1$和$2n - 1$（$n$是整数），则$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 - (4n^{2} - 4n + 1) = 8n$。$\because n$是整数，$\therefore 8n$是$8$的倍数。$\therefore$任意两个连续奇数的平方差都能被$8$整除，这些算式都是“如意式”。 8分