《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

18. （本小题满分7分）
如图，矩形纸板的长和宽分别为$a$和$b$，如果以$a$边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为$V_{1}$，以$b$边所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为$V_{2}$，对哪个体积更大进行研究。
(1) 当$a=b=4$时，直接判断$V_{1}$和$V_{2}$的大小；
(2) 当$a=4$，$b=3$时，判断$V_{1}$和$V_{2}$的大小；
(3) 当$a$，$b$不确定时，判断$V_{1}$和$V_{2}$的大小。

答案： 18.解:
(1)$V_{1} = V_{2}$. 2分
(2)$V_{1} = b^{2}\pi a = 3^{2} × \pi × 4 = 36\pi$，$V_{2} = a^{2}\pi b = 4^{2} × \pi × 3 = 48\pi$. 4分
∵$36\pi ＜ 48\pi$，
∴$V_{1} ＜ V_{2}$. 5分
(3)
∵$V_{1} - V_{2} = b^{2}\pi a - a^{2}\pi b = ab\pi(b - a)$，
∴当$b ＞ a$时，$V_{1} ＞ V_{2}$;当$b = a$时，$V_{1} = V_{2}$;当$b ＜ a$时，$V_{1} ＜ V_{2}$. 7分

19. (本小题满分8分)
某学校征集河北美影视视频，视频获奖等级按照学生投票数依次分为一等奖、二等奖、三等奖和参与奖。将$A$，$B$，$C$，$D$四个视频的投票数绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图，已知投票数的极差和视频$C$的投票数一样。

根据以上信息，解答下列问题：
(1) $a=$；
(2) 求投票数的中位数；
(3) 若统计票数时，因特殊原因，将视频$C$的票数少计算了总票数的5%，票数多加在了视频$D$的投票数上，请通过计算说明视频$C$和视频$D$的获奖等级是否有变化。

答案： 19.解:
(1)40 2分
(2)由
(1)可知视频A投票数为$2300 × 20\% = 460$，视频B投票数为$2300 × 10\% = 230$，视频C投票数为690，视频D投票数为$2300 × 40\% = 920$，将数据按从小到大的顺序排列为230,460,690,920，
∴投票数的中位数是$\frac{460 + 690}{2} = 575$. 5分
(3)视频C投票数为$690 + 2300 × 5\% = 805$，视频D投票数为$920 - 2300 × 5\% = 805$，视频C和视频D的投票数一样，
∴获奖等级发生变化. 8分