《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y = x² + bx + c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x = 2，与y轴交于点C(0，−5)，点D为抛物线上任意一点。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 如图2，当点D为抛物线的顶点时，求△BCD的面积；
(3) 如图3，当点D在直线BC下方的抛物线上时，连接OD，交BC于点E，求$\frac{DE}{OE}$的最大值。

答案：
23.解：
(1)根据题意，得$- \frac{b}{2 × 1} = 2$，$\therefore b = - 4$。将$C(0, - 5)$代入$y = x^{2} - 4x + c$，得$c = - 5$。$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^{2} - 4x - 5$。 3分
(2)令$y = 0$，得$x^{2} - 4x - 5 = 0$。解得$x_{1} = - 1$，$x_{2} = 5$。$\therefore B(5,0)$。当$x = 2$时，$y = - 9$，$\therefore D(2, - 9)$。设直线BC的表达式为$y = kx + m(k \neq 0)$。把$B(5,0)$，$C(0, - 5)$代入，得$\begin{cases}5k + m = 0, \\m = - 5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k = 1, \\m = - 5.\end{cases}$ $\therefore$直线BC的表达式为$y = x - 5$。当$x = 2$时，$y = - 3$。$\therefore P(2, - 3)$。$\therefore DP = 6$。$\therefore S_{\triangle BCD} = S_{\triangle BPD} + S_{\triangle PCD} = \frac{1}{2} × 6 × 3 + \frac{1}{2} × 6 × 2 = 15$。 7分
(3)如图，过点D作$DF // y$轴，交BC于点F，则$\triangle FDE \backsim \triangle COE$。$\therefore \frac{DE}{OE} = \frac{DF}{OC} = \frac{DF}{5}$

$\therefore$当DF取得最大值时，$\frac{DE}{OE}$取得最大值。设$D(t,t^{2} - 4t - 5)$，则$F(t,t - 5)$。$\therefore DF = t - 5 - (t^{2} - 4t - 5) = - t^{2} + 5t = - (t - \frac{5}{2})^{2} + \frac{25}{4}$。$\because - 1 ＜ 0$，$0 ＜ t ＜ 5$，$\therefore$当$t = \frac{5}{2}$时，DF有最大值，为$\frac{25}{4}$，此时$\frac{DE}{OE}$的最大值为$\frac{5}{4}$。 11分