《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

22. (2025·石家庄27中模拟)(本小题满分9分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线BC分别与$x$轴、$y$轴交于B，C两点，直线$y = x$与直线BC相交于点A，P为线段BC上一动点(不与点B重合)，过点P作$PQ\perp x$轴，垂足为Q，设点P的横坐标为$t$，$\triangle OAB$与$\triangle PQB$重叠部分的面积为$S$，$S$关于$t$的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题：
(1)利用图中残留的信息，推测$\triangle OAB$的面积为\frac{8}{3}；
(2)求直线BC的解析式；
(3)若$S = 1$。
①判断点P在点A的左侧还是右侧；
②求此时$t$的值。

答案： 22.解$:(1)\frac{8}{3} 1$分
(2)由题图2得OB = 4，
∴B(4,0).
∵点A在直线y = x上，
∴设A(a,a).
∴$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}×4a = \frac{8}{3} $解得$a = \frac{4}{3}. $
∴$A(\frac{4}{3},\frac{4}{3}). 3$分 设直线BC的解析式为y = kx + b(k≠0). 将B(4,0)，$A(\frac{4}{3},\frac{4}{3})$代入， 得$\begin{cases}4k + b = 0\frac{4}{3}k + b = \frac{4}{3}\end{cases} $解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}，$
∴直线BC的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 2. 5$分
(3)①过点A作AD⊥x轴于点D， 则$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}×(4 - \frac{4}{3})×\frac{4}{3} = \frac{16}{9}＞1，$
∴点P在点A的右侧. 7分 ②由题意，得$\frac{1}{2}×(4 - t)×(-\frac{1}{2}t + 2) = 1. $解得$t_1 = 2，$$t_2 = 6($舍去). 9分