《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

15. 如图，矩形$ABCD$的顶点$A$，$D$的坐标分别为$(1,0)$，$(0,2)$，$BD // x$轴。若反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图象经过矩形对角线的交点$E$，则$k$的值为5。

答案： 15.5 解析:本题考查矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征.过点B作$BF \perp x$轴于点F,则$\angle BFA = \angle AOD = 90°$.
∵$A(1,0)$,$D(0,2)$,
∴$OA = 1$,$OD = 2$.
∵$BD // x$轴,
∴$BF = 2$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴$\angle BAD = 90°$,E为BD的中点,
∴$\angle OAD + \angle BAF = 90°$,
∴$\angle BAF = \angle ODA$,
∴$\triangle ABF \sim \triangle DAO$,
∴$\frac{BF}{OA} = \frac{AF}{OD}$,即$\frac{2}{1} = \frac{AF}{2}$,
∴$AF = 4$,
∴$OF = 5$,
∴$BD = OF = 5$,
∴$DE = \frac{5}{2}$,
∴$E\left(\frac{5}{2},2\right)$,
∴$k = \frac{5}{2} × 2 = 5$.

16. 如图，在正六边形$ABCDEF$中，$AB = 6$，点$P$从点$F$出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线$FA - AB$运动，运动时间为$t$秒，过点$P$的直线$l$垂直于$AB$所在的直线，点$F$与$F'$关于直线$l$对称，连接$BF'$。当$BF'$最小时，$t$的值为$\frac{5}{2}$。

答案： 16.$\frac{5}{2}$ 解析:本题考查正六边形的性质、轴对称的性质.如图,连接CF.根据正六边形的性质可得$\angle ABC = 120°$,$CF = 12$,$CF // AB$.
∵直线$l \perp AB$,
∴直线$l \perp CF$,
∴点F的对称点$F'$在直线CF上,
∴当$BF' \perp CF$时,$BF'$取得最小值,
∴$\angle CBF' = 30°$,
∴$CF' = \frac{1}{2}BC = 3$,
∴$FF' = 9$.设直线l交CF于点G,则$GF' = \frac{9}{2}$.易得四边形$BPGF'$是矩形,
∴$BP = GF' = \frac{9}{2}$,
∴$AP = \frac{3}{2}$,
∴t的值为$\left(6 + \frac{3}{2}\right) ÷ 3 = \frac{5}{2}$.

17. （本小题满分7分）
在右图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算。例如：路线$A \to B$上数的和记为$( - 9) + 2 = - 7$。
（1）求路线$A \to B \to C$上所有数的和；
（2）若路线$A \to D$上两个数的积大于路线$D \to C$上两个式子的和，求$x$的正整数解。

答案： 17.解:
(1)路线$A \to B \to C$上所有数的和为$(-9) + 2 + 8 + (-7) = -6$. 3分
(2)根据题意,得$2 × (-1) ＞ 3x + 2(x - 4)$. 解得$x ＜ \frac{6}{5}$. 6分
∴符合条件的x的正整数解为1. 7分

18. （本小题满分8分）
一个三位数，如果十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”。例如：234，因为$3 = \frac{1}{2} × (2 + 4)$，所以234是“半和数”。
（1）已知$\overline{abc}$是“半和数”，若$a = 1$，$b = 3$，求$c$的值；
（2）嘉嘉认为任意一个“半和数”都能被3整除，你同意嘉嘉的看法吗？说明理由。

答案： 18.解:
(1)
∵$\overline{abc}$是“半和数”,
∴$b = \frac{a + c}{2}$.
∵$a = 1$,$b = 3$,
∴$3 = \frac{1 + c}{2}$.
∴$c = 5$. 4分
(2)同意. 5分
理由:设$\overline{abc}$是一个“半和数”,则$b = \frac{a + c}{2}$.
∴$\overline{abc} = 100a + 10b + c = 100a + 5(a + c) + c = 105a + 6c = 3(35a + 2c)$.
∵a,c为整数,
∴$35a + 2c$为整数.
∴任意一个“半和数”都能被3整除.
∴同意嘉嘉的看法. 8分