《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

13. 在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，$\angle B=\angle B' = 30^{\circ}$，$AB = A'B' = 6$，$AC = A'C' = 4$.已知$\angle C = n^{\circ}$，则$\angle C' =$(C)

A.$30^{\circ}$
B.$n^{\circ}$
C.$n^{\circ}$或$180^{\circ}-n^{\circ}$
D.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$

答案：
13.C 解析：本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质.不妨设$\angle ACB$为锐角，如图1，过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$.$\because \angle B = 30^{\circ}$,$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 3$,$\therefore AD ＜ AC$,$\therefore$在直线$B^{\prime}C^{\prime}$上存在两点$M$,$N$(图2)，使得$A^{\prime}M = A^{\prime}N = AC = 4$,$\therefore$当点$C^{\prime}$在点$M$或点$N$的位置时，符合题意，$\therefore \angle M = \angle C = n^{\circ}$,$\therefore \angle A^{\prime}NM = \angle M = n^{\circ}$,$\therefore \angle A^{\prime}NB^{\prime} = 180^{\circ} - n^{\circ}$,$\therefore \angle A^{\prime}C^{\prime}B^{\prime} = n^{\circ}$或$180^{\circ} - n^{\circ}$.故选C.

14. 下图是一种轨道示意图，其中$\overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$均为半圆，点$M,A,C,N$依次在同一直线上，且$AM = CN$.现有两个机器人(看成点)分别从$M,N$两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为$M\to A\to D\to C\to N$和$N\to C\to B\to A\to M$.若移动时间为$x$，两个机器人之间距离为$y$，则$y$与$x$关系的图象大致是(D)

 

答案： 14.D 解析：本题考查函数图象.将两个机器人分别看成点$P$,$Q$，则点$P$,$Q$分别从$M$,$N$两点同时出发，且速度相同.连接$AC$,$\because \overset{\frown}{ADC}$和$\overset{\frown}{ABC}$均为半圆，$\therefore AC$为直径.$\because$点$M$,$A$,$C$,$N$依次在同一直线上，$AM = CN$,$\therefore$当点$P$在路线$M \longrightarrow A$上运动时，点$Q$在路线$N \longrightarrow C$上运动，此时点$P$,$Q$之间距离$y$随着移动时间$x$的增大而减小；当点$P$在路线$A \longrightarrow D \longrightarrow C$上运动时，点$Q$在路线$C \longrightarrow B \longrightarrow A$上运动，且点$P$,$Q$同时分别到达点$C$,$A$，此时点$P$,$Q$之间距离$y$不变；当点$P$在路线$C \longrightarrow N$上运动时，点$Q$在路线$A \longrightarrow M$上运动，且点$P$,$Q$同时分别到达点$N$,$M$，此时点$P$,$Q$之间距离$y$随着移动时间$x$的增大而增大，只有D选项中的图象符合题意.故选D.

15. 如图，直线$l_{1}// l_{2}$，菱形$ABCD$和等边三角形$EFG$在$l_{1},l_{2}$之间，点$A,F$分别在$l_{1},l_{2}$上，点$B,D,E,G$在同一直线上.若$\angle \alpha = 50^{\circ}$，$\angle ADE = 146^{\circ}$，则$\angle \beta =$(C)

A.$42^{\circ}$
B.$43^{\circ}$
C.$44^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案：
15.C 解析：本题考查平行线的性质、三角形内外角关系、等边三角形的性质.如图，直线$BG$分别交直线$l_{1}$,$l_{2}$于点$M$,$N$.$\because \angle \alpha = 50^{\circ}$,$\therefore \angle DAM = 180^{\circ} - \angle \alpha = 130^{\circ}$,$\therefore \angle AMB = \angle ADE - \angle DAM = 16^{\circ}$.$\because l_{1} // l_{2}$,$\therefore \angle FNG = \angle AMB = 16^{\circ}$.$\because \triangle EFG$是等边三角形，$\therefore \angle EGF = 60^{\circ}$,$\therefore \angle \beta = \angle EGF - \angle FNG = 44^{\circ}$.故选C.

16. 已知二次函数$y = -x^{2}+m^{2}x$和$y = x^{2}-m^{2}$($m$是常数)的图象与$x$轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为(A)

A.2
B.$m^{2}$
C.4
D.$2m^{2}$

答案： 16.A 解析：本题考查二次函数的图象与性质.由题意，得$m \neq 0$.令$y = -x^{2} + m^{2}x = 0$,得$x_{1} = 0$,$x_{2} = m^{2} ＞ 0$.令$y = x^{2} - m^{2} = 0$,得$x_{3} = m$,$x_{4} = -m$.若要满足这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则$m^{2} = 2|m|$,解得$m = \pm 2$.$\because$二次函数$y = -x^{2} + m^{2}x$图象的对称轴为直线$x = - \frac{m^{2}}{2 × (-1)} = \frac{m^{2}}{2} = 2$,二次函数$y = x^{2} - m^{2}$图象的对称轴为直线$x = 0$,$\therefore$这两个函数图象对称轴之间的距离为$2$.故选A.

17. 如图，已知点$A(3,3)$，$B(3,1)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$图象的一支与线段$AB$有交点，写出一个符合条件的$k$的整数值：4.

答案： 17.4(答案不唯一)