《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (本小题满分12分)
如图1，在正方形$ABCD$中，$AB = 4$，点$P$，$Q$分别在边$AB$，$AD$上，$AP = AQ = t(t ＜ 4)$。将$\angle PAQ$绕点$A$逆时针旋转$\theta^{\circ}(0 ＜ \theta ＜ 360)$，连接$BP$，$DQ$，$BP$所在直线交直线$DQ$于点$M$，连接$CM$。
(1)$BP$与$DQ$的数量关系是$BP = DQ$，位置关系是$BP \perp DQ$；
(2)如图2，当$0 ＜ \theta ＜ 90$时，求证：$BM + DM = \sqrt{2}CM$；
(3)如图3，若点$Q$与点$M$重合于$AB$左侧，且$BP = 3BQ$，求$t$的值；
(4)若$t = 2\sqrt{2}$，当点$M$为$QD$的中点时，直接写出$\tan \angle ABP$的值。

答案：
24.
(1)解:$BP = DQ$ $BP \perp DQ$ 2分
(2)证明:如图1,过点C作$CG \perp CM$与MD的延长线交于点G,则$\angle MCG = 90°$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴$BC = CD$,$\angle BCD = 90°$. 在四边形BCDM中,
∵$\angle BMD = \angle BCD = 90°$,
∴$\angle MBC + \angle MDC = 180°$.
∵$\angle MDC + \angle CDG = 180°$,
∴$\angle MBC = \angle CDG$.
∵$\angle BCD = \angle MCG$,
∴$\angle BCM = \angle DCG$.
∴$\triangle BCM \cong \triangle DCG(ASA)$. 5分
∴$BM = DG$,$CM = CG$.
∴$\triangle MCG$是等腰直角三角形.
∴$\angle G = 45°$.
∴$\sin G = \frac{CM}{MG} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴$MG = \sqrt{2}CM$.
∴$DG + DM = BM + DM = \sqrt{2}CM$. 7分
(3)解:如图2,过点A作$AH \perp BP$于点H.

在$Rt \triangle APQ$中,$AP = AQ$,
∴$PH = HQ = AH = \frac{\sqrt{2}}{2}t$.
∵$BP = 3BQ$,
∴$PQ = 2BQ = \sqrt{2}t$.
∴$BQ = \frac{\sqrt{2}}{2}t$.
∴$HB = \sqrt{2}t$.
∵$AH^2 + BH^2 = AB^2$,
∴$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)^2 + (\sqrt{2}t)^2 = 4^2$.
∴$t = \frac{4\sqrt{10}}{5}$(负值已舍去). 10分
(4)解:$\frac{4 - \sqrt{7}}{9}$或$\frac{4 + \sqrt{7}}{9}$ 12分