《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

15. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 4$，$AD = 6$，$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，$DG$平分$\angle ADB$，$DG$与$EF$交于点$G$，连接$AG$，则$EG =$$\sqrt{13} - 3$。

答案： 15.$\sqrt{13} - 3$ 解析:本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle BAD = 90^{\circ}$，$\therefore BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = 2\sqrt{13}$。$\because E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，$\therefore EF$是$\triangle ABD$的中位线，$\therefore EF = \frac{1}{2}BD = \sqrt{13}$，$EF // BD$，$\therefore \angle FGD = \angle BDG$。$\because DG$平分$\angle ADB$，$\therefore \angle BDG = \angle FDG$，$\therefore \angle FGD = \angle FDG$，$\therefore FG = FD = AF = \frac{1}{2}AD = 3$，$\therefore EG = EF - FG = \sqrt{13} - 3$。

16. 用$n(n\geq3)$个完全相同的正五边形按照如图的方式拼成一圈，相邻的两个正五边形有公共顶点，且相邻两个正五边形外圈的夹角均为$x^{\circ}$，内圈的夹角均为$y^{\circ}$。若$x$，$y$均为正整数，且$x\geq30$，则所有符合条件的$n$的值为3或4或5。

答案： 16.3或4或5 解析:本题考查正多边形的内角和定理。正五边形的每一个内角的度数均为$\frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$。根据题意，得$x + y = 360 - 2×108 = 144$，即$x = 144 - y$；$\because x \geqslant 30$，$\therefore 144 - y \geqslant 30$，解得$y \leqslant 114$。$\because$正多边形的每一个内角的度数均为$\frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$，$\therefore \frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n} \leqslant 114^{\circ}$，$\therefore n \leqslant 5\frac{5}{11}$，$\because n$为正整数，且$n \geqslant 3$，$n$的值为3或4或5。

17. （本小题满分7分）
某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题。答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分。初始分数为100分。
（1）必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；
（2）若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对的题目数。

答案： 17.解:
(1)$100 + 7×20 - 3×10 = 210$(分)。\n答:该队必答环节后的总分数为210分。\n3分\n
(2)设该队抢答环节答对$x$道题。\n由题意，得$30x - 10(6 - x) = 140$。\n解得$x = 5$。\n答:该队抢答环节答对5道题。\n7分

18. （本小题满分8分）
数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对$(x,y)$，白板屏幕上就会出现$x^{2}-3y + 4$。
（1）嘉嘉在电脑屏幕上输入$(m,-3m)$，求输出的多项式；
（2）淇淇说：“我若输入$(n,n)$，输出的多项式一定比1大。”你同意淇淇的说法吗？请通过计算说明理由。

答案： 18.解:
(1)输出的多项式为$m^2 - 3(-3m) + 4 = m^2 + 9m + 4$。\n4分\n
(2)同意淇淇的说法。\n理由:当输入$(n,n)$时，多项式为$n^2 - 3n + 4$。\n$\because n^2 - 3n + 4 = (n - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \geqslant \frac{7}{4} ＞ 1$，\n$\therefore$输出的多项式一定比1大。\n8分