《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分10分）
嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点$A(6,1)$处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线$C_{1}:y = a(x - 3)^{2}+2$的一部分，淇淇恰在点$B(0,c)$处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线$C_{2}:y = -\frac{1}{8}x^{2}+\frac{n}{8}x + c + 1$的一部分.
（1）写出$C_{1}$的最高点坐标，并求$a,c$的值；
（2）若嘉嘉在$x$轴上方1m的高度上，且到点$A$水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的$n$的整数值.

答案： 23.解：
(1)$\because C_{1}: y = a(x - 3)^{2} + 2$,$\therefore C_{1}$的最高点坐标为$(3,2)$.$\because$抛物线$C_{1}$经过点$A(6,1)$,$\therefore 1 = a(6 - 3)^{2} + 2$.解得$a = - \frac{1}{9}$.$\therefore y = - \frac{1}{9}(x - 3)^{2} + 2$.$\because$抛物线$C_{1}$经过点$B(0,c)$,$\therefore c = - \frac{1}{9} × (0 - 3)^{2} + 2 = 1$.
(2)$\because A(6,1)$,由分析可得嘉嘉可以在连接点$(5,1)$，点$(7,1)$的线段上的一点接到沙包.$\because c = 1$,$\therefore y = - \frac{1}{8}x^{2} + \frac{n}{8}x + 2$.$- \frac{1}{8} × 5^{2} + \frac{5}{8}n + 2 \geqslant 1$,$- \frac{1}{8} × 7^{2} + \frac{7}{8}n + 2 \leqslant 1$.解得$\frac{17}{5} \leqslant n \leqslant \frac{41}{7}$.$\because n$为整数，$\therefore n$可以为$4$或$5$.

24. （本小题满分10分）
装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以$AB$为直径的半圆$O$，$AB = 50cm$，如图1和图2所示，$MN$为水面截线，$GH$为台面截线，$MN// GH$.
计算 在图1中，已知$MN = 48cm$，作$OC\perp MN$于点$C$.
（1）求$OC$的长；
操作 将图1中的水槽沿$GH$向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当$\angle ANM = 30^{\circ}$时停止滚动，如图2.其中，半圆的中点为$Q$，$GH$与半圆的切点为$E$，连接$OE$交$MN$于点$D$.
探究 在图2中.
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接$OQ$并延长交$GH$于点$F$，求线段$EF$与$\overset{\frown}{EQ}$的长度，并比较大小.

答案： 24.解：
(1)连接$OM$,则$OM = \frac{1}{2}AB = 25 cm$.$\because OC \perp MN$于点$C$,$\therefore MC = \frac{1}{2}MN = 24 cm$.$\therefore OC = \sqrt{OM^{2} - MC^{2}} = 7 cm$.
(2)$\because$半圆$O$与$GH$相切于点$E$,$\therefore OE \perp GH$.$\because MN // GH$,$\therefore OE \perp MN$.又$\because \angle ANM = 30^{\circ}$,$\therefore OD = \frac{1}{2}ON = 12.5 cm$.由
(1)得$OC = 7 cm$,$\therefore OD - OC = 5.5 cm$.$\therefore$操作后水面高度下降了$5.5 cm$.
(3)$\because Q$为半圆$O$的中点，$\therefore \angle NOF = 90^{\circ}$.由
(2)易得$\angle NOE = 60^{\circ}$,$\therefore \angle FOE = 30^{\circ}$.$\therefore EF = OE · \tan \angle FOE = \frac{25\sqrt{3}}{3}(cm)$,$l_{EQ} = \frac{30 × \pi × 25}{180} = \frac{25\pi}{6}(cm)$.$\because \frac{25\sqrt{3}}{3} ＞ \frac{25\pi}{6}$,$\therefore EF$的长大于$EQ$的长.