《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

22. (本小题满分9分)
淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作$\odot O$，如图1，摩天轮上的$12$个轿厢看作均匀分布在$\odot O$上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段$MN$表示上下摩天轮的平台，$OD$，$OE$表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置$B$，$C$，乘客都从图中点$A$位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮的直径为$40$米，运转一周用时$12$分钟，$OD = OE = 24$米.(参考数据：$\cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}$，$\cos 33^{\circ} \approx \frac{5}{6}$)
(1)$\angle BOC =$60$^{\circ}$；
(2)如图2，当淇淇到达点$P$处时，与她开始进入轿厢的位置(点$A$)之间恰好相距$32$米(即线段$AP$的长为$32$米)，求淇淇转过的$\overset{\frown}{AP}$的长；
(3)设淇淇进入轿厢$t$分钟时所处位置为点$H$，连接$DH$，若$DH$与$\odot O$相切，直接写出此时$t$的值.

答案：
22.解：
(1)$60$
2分
(2)如图，过点$O$作$OF \perp AP$于点$F$.

$\because OF \perp AP$，$AP = 32$米，
$\therefore PF = \frac{1}{2}AP = 16$米.
$\therefore \cos P = \frac{PF}{PO} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
4分
$\therefore \angle P \approx 37^{\circ}$.
$\therefore \angle POF \approx 53^{\circ}$.
$\because OP = OA$，$OF \perp AP$，
$\therefore \angle POA = 2\angle POF \approx 106^{\circ}$.
$\therefore l_{扇形OAP} \approx \frac{106 × \pi × 20}{180} = \frac{106\pi}{9}$（米）.
7分
(3)$t$的值为$2.1$或$11.9$.
9分

23. （本小题满分11分）
冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（$OB$所在直线）为$x$轴，过起跳点$A$作$x$轴的垂线为$y$轴，构建平面直角坐标系，$OA = 60$米. 有一运动员通过助滑坡后从起跳点$A$处腾空跃起，沿运动轨迹$APD$运动，最后着陆在滑道$AB$上的点$D$处，然后继续向点$B$滑行，$OB = 120$米. 将运动员看做一点，其空中运动轨迹$APD$段可近似看作抛物线$y = -\frac{1}{100}x^2 + bx + c$的一部分. 已知点$P$为运动员在空中的最高点，点$D$为着陆点，且其到地面（$OB$所在直线）的距离为$5$米.
（1）求点$D$的坐标；
（2）求抛物线的解析式，并直接写出点$P$的坐标；
（3）现该运动员从最高点$P$处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需$40$米的垂直距离. 为保证在点$D$处安全着陆，该运动员必须位于点$F$（$F$为着陆坡$AB$上一点）正上方$18$米高度的点$E$处停止做转体动作，准备着陆. 请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作.

答案： 23.解：
(1)由题意可知$A(0,60)$，$B(120,0)$.
设$AB$所在直线的表达式为$y = kx + m(k \neq 0)$，
则$\begin{cases} m = 60 \\120k + m = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -\frac{1}{2} \\m = 60 \end{cases}$.
$\therefore AB$所在直线的表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 60$.
2分
$\because$点$D$到地面的距离为$5$米，
$\therefore -\frac{1}{2}x + 60 = 5$.
解得$x = 110$.
$\therefore$点$D$的坐标为$(110,5)$.
4分
(2)将$A(0,60)$，$D(110,5)$代入$y = -\frac{1}{100}x^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases} c = 60 \\-\frac{1}{100} × 110^{2} + 110b + c = 5 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} b = 0.6 \\c = 60 \end{cases}$.
$\therefore$抛物线的解析式为$y = -0.01x^{2} + 0.6x + 60$.
点$P$的坐标为$(30,69)$.
8分
(3)由题意，得$-0.01x^{2} + 0.6x + 60 - (-\frac{1}{2}x + 60) = 18$，
解得$x_{1} = 20$（舍去），$x_{2} = 90$.
当$x = 90$时，$y = -0.01x^{2} + 0.6x + 60 = 33$.
$\because 69 - 33 = 36 ＜ 40$，
$\therefore$该运动员不能完整做完这个转体动作.
11分