《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. （本小题满分12分）
如图1，⊙O的半径为10，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且sin∠AOC = $\frac{3}{5}$，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O交于另一点Q。
(1) 求点C到OA的距离；
(2) 如图2，当PC与⊙O相切时，求AP的长；
(3) 如图3，连接AC，当AC//OQ时，求AC与OQ之间的距离；
(4) 当tan∠OCP = $\frac{1}{2}$时，直接写出OP的长。

答案：
24.解：
(1)过点C作$CD \perp AB$于点D，在$Rt \triangle COD$中，$CD = OC · \sin\angle AOC = 10 × \frac{3}{5} = 6$，$\therefore$点C到OA的距离为$6$。 3分
(2)$\because PC$与$\odot O$相切，$\therefore OC \perp PC$。$\because \sin\angle AOC = \frac{3}{5}$，$\therefore \frac{PC}{OP} = \frac{3}{5}$。设$PC = 3k(k ＞ 0)$，$OP = 5k$，则$OC = \sqrt{OP^{2} - PC^{2}} = 4k$。$\therefore 4k = 10$。$\therefore k = \frac{5}{2}$。$\therefore OP = \frac{25}{2}$。$\therefore AP = OP - OA = \frac{25}{2} - 10 = \frac{5}{2}$。 6分
(3)如图，过点O作$OE \perp AC$于点E，过点C作$CD \perp OA$于点D。

由
(1)得$CD = 6$，$\therefore OD = \sqrt{OC^{2} - CD^{2}} = 8$。$\therefore AD = OA - OD = 2$。$\therefore AC = \sqrt{CD^{2} + AD^{2}} = 2\sqrt{10}$。$\because OE \perp AC$，$OA = OC$，$\therefore AE = \frac{1}{2}AC = \sqrt{10}$。$\therefore OE = \sqrt{OA^{2} - AE^{2}} = 3\sqrt{10}$。$\because AC // OQ$，$\therefore AC$与$OQ$之间的距离为$3\sqrt{10}$。 10分
(4)$5$或$25$。 12分