《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (2025·湖北)(本小题满分12分)
抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-x + c$与$x$轴相交于点$A(-1,0)$和点$B$，与$y$轴相交于点$C$，$T$是抛物线的顶点，$P$是抛物线上一动点，设点$P$的横坐标为$t$.
(1)求$c$的值；
(2)如图，若点$P$在对称轴左侧，过点$P$作对称轴的垂线，垂足为$H$. 求$\frac{PH^{2}}{TH}$的值；
(3)定义：抛物线上两点$M$，$N$之间的部分叫做抛物线弧$MN$（含端点$M$和$N$），过$M$，$N$分别作$x$轴的垂线$l_{1}$，$l_{2}$，过抛物线弧$MN$的最高点和最低点分别作$y$轴的垂线$l_{3}$，$l_{4}$，直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$与$l_{4}$围成的矩形叫做抛物线弧$MN$的特征矩形. 若点$P$在第四象限，记抛物线弧$CP$的特征矩形的周长为$f$.
①求$f$关于$t$的函数解析式；
②过点$P$作$PQ// x$轴，交抛物线于点$Q$，点$Q$与点$C$不重合. 记抛物线弧$CQ$的特征矩形的周长为$g$. 若$f + g=\frac{11}{2}$，直接写出$PQ$的长.

答案： 24.解:
(1)把A(-1,0)代入$y=\frac{1}{2}x^2 - x + c$，
得$\frac{1}{2}+1 + c = 0$.
解得$c = -\frac{3}{2}$. 2分
(2)由
(1)可知$y=\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}=\frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$，
∴T(1,-2).
设$P(t,\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{3}{2})$，
∵点P在对称轴左侧,过点P作对称轴的垂线,垂足为H,
∴PH = 1 - t,TH=$\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}t^2 - t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t - 1)^2$.
∴$\frac{PH^2}{TH}=\frac{\frac{1}{2}(1 - t)^2}{\frac{1}{2}(t - 1)^2}=2$. 5分
(3)①当x = 0时,$y = -\frac{3}{2}$，
当$y=\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{3}{2}=0$时,$x_1=-1,x_2 = 3$，
∴$C(0,-\frac{3}{2})$，B(3,0).
由
(2)可知:T(1,-2)，$P(t,\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{3}{2})$，对称轴为直线x = 1，
∴点$C(0,-\frac{3}{2})$关于对称轴的对称点为$(2,-\frac{3}{2})$.
∵点P在第四象限,
∴0＜t＜3.
当0＜t≤1时,抛物线弧CP的最高点为C,最低点为P,此时特征矩形的两条邻边的长分别为t,$-\frac{3}{2}-(\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{3}{2})=-\frac{1}{2}t^2 + t$，
∴$f = 2(t-\frac{1}{2}t^2 + t)=-t^2 + 4t$.
当1＜t≤2时,抛物线弧CP的最高点为C,最低点为T,此时特征矩形的两条邻边的长分别为t,$-\frac{3}{2}-(-2)=\frac{1}{2}$，
∴$f = 2(t+\frac{1}{2})=2t + 1$.
当2＜t＜3时,抛物线弧CP的最高点为P,最低点为T,此时特征矩形的两条邻边的长分别为t,$\frac{1}{2}t^2 - t - \frac{3}{2}-(-2)=\frac{1}{2}t^2 - t+\frac{1}{2}$，
∴$f = 2(t+\frac{1}{2}t^2 - t+\frac{1}{2})=t^2 + 1$.
综上,$f=\begin{cases}-t^2 + 4t(0＜t≤1),\\2t + 1(1＜t≤2),\\t^2 + 1(2＜t＜3).\end{cases}$ 10分
②PQ的长为$\sqrt{2}$或$\sqrt{17}-2$. 12分