《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

20. （本小题满分8分）
图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成。图2是某种工作状态下的侧面结构示意图。已知PQ是伸展臂，EM//QN，基座高度MN为1m，主臂MP的长为5m，测得主臂伸展角∠PME=37°。
（1）求点P到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，∠MPQ=113°，求QN的长（结果保留根号）。
（参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$，$\sin 53° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 53° \approx \frac{4}{3}$）

答案：
20.解:
(1)如图,过点P作PH⊥QN于点H,延长ME交PH于点F,则四边形MNHF为矩形.
∴FH = MN = 1m,∠PFM = 90°.
∴PF = PM·sin∠PME = $5×\sin37°≈5×\frac{3}{5}$ = 3(m).
∴点P到地面的高度为PH = PF + FH = 4m. 4分

(2)如图,由
(1)可知四边形MNHF为矩形,
∴HN = FM = PM·cos∠PME = $5×\cos37°≈5×\frac{4}{5}$ = 4(m). 5分
∵∠PME = 37°,
∴∠MPF = 53°.
∴∠QPH = ∠MPQ - ∠MPF = 60°. 6分
∵PH = 4m,
∴QH = PH·tan∠QPH = $4×\tan60° = 4\sqrt{3}$(m).
∴QN = QH + HN = $(4\sqrt{3}+4)$m. 8分

21. （本小题满分9分）
如图，直线$l: y = -3x + 5$分别与y轴及直线y = 2交于点A，B，点C与点B关于y轴对称，直线y = 2与y轴交于点E，D(-2,0)，连接CD。
（1）直接写出点B，C的坐标，并求直线CD的表达式；
（2）设$S = S_{\triangle ABE} + S_{四边形DCEO}$，求S的值；
（3）设直线l关于y轴对称的直线为l'，点D是否在l'上？请通过计算说明。

答案： 21.解:
(1)B(1,2),C(-1,2). 2分
设直线CD的表达式为y = kx + b(k≠0).
把C(-1,2),D(-2,0)分别代入,
得$\begin{cases}2=-k+b,\\0=-2k+b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4.\end{cases}$
∴直线CD的表达式为y = 2x + 4. 4分
(2)当x = 0时,y = -3x + 5 = 5,
∴点A的坐标为(0,5).
∴OA = 5.
∵OE = 2,
∴AE = OA - OE = 3.
∵EB = 1,
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}EB·AE=\frac{3}{2}$.
∵CE = 1,DO = 2,EO = 2,
∴$S_{四边形DCEO}=\frac{1}{2}(CE+DO)·EO=3$.
∴S = $S_{△ABE}+S_{四边形DCEO}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$. 7分
(3)
∵直线l'与l关于y轴对称,
∴直线l'经过点A,C.
设直线l'的表达式为y = mx + n(m≠0).
把A(0,5),C(-1,2)分别代入,
得$\begin{cases}5=n,\\2=-m+n.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=3,\\n=5.\end{cases}$
∴直线l'的表达式为y = 3x + 5.
当x = -2时,y = 3x + 5 = 3×(-2)+5 = -1≠0,
∴点D不在直线l'上. 9分