《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

16. 传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形。嘉琪同学用边长为$4\sqrt{2}$的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案(外轮廓是轴对称图形)，并把图案放到圆中，如图2所示，$A$，$B$，$C$三点在圆上。
(1)$BC$的长为6；
(2)圆的半径是$\frac{73}{16}$。

答案：
16.
(1)6
(2)$\frac{73}{16}$ 解析:本题考查正方形的性质、勾股定理.
(1)
∵边长为$4\sqrt{2}$的正方形纸板做出题图1所示的七巧板,
∴七巧板中大等腰直角三角形的直角边长为$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$,中等腰直角三角形的直角边长为$2\sqrt{2}$,小等腰直角三角形的直角边长为2,小正方形的边长为2,平行四边形的相邻边长分别为2和$2\sqrt{2}$.
∵$BC$是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即$BC = 2 + \sqrt{2} × 2\sqrt{2} = 6$.
(2)如图,延长$AQ$交$BC$于点$P$,设圆心为点$O$,连接$OB$.
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
∴$AP$垂直平分$BC$,
∴圆心$O$在$AP$上,$BP = CP = \frac{1}{2}BC = 3$.由题意可得$AP = 4 + 2 + 2 = 8$.设半径$OA = OB = r$,则$OP = AP - OA = 8 - r$,在$Rt \triangle BOP$中，$OP^2 + BP^2 = OB^2$,
∴$(8 - r)^2 + 3^2 = r^2$,解得$r = \frac{73}{16}$,
∴圆的半径是$\frac{73}{16}$.

17. （本小题满分7分）
如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“*”表示一个有理数。
（1）若输入的数是1，*表示的数为2，求计算结果；
（2）若输入的数是-4，且计算结果为8，求*表示的数；
（3）若输入的数是$a$，*表示的数为$b$，当计算结果为0时，直接写出$a$与$b$之间的数量关系。

答案： 17.解:
(1)根据题意，得$1 × (-6) ÷ 3 + 2 - (-2) = (-6) ÷ 3 + 2 + 2 = -2 + 2 + 2 = 2$. 3分
(2)设$*$表示的数为$x$.根据题意，得$(-4) × (-6) ÷ 3 + x - (-2) = 8$. 5分解得$x = -2$.
∴$*$表示的数为-2. 6分
(3)$b = 2a - 2$. 7分