《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

26. （本小题满分13分）
如图，抛物线$C_{1}:y = ax^{2} - 2x$过点$(4,0)$，顶点为$Q$. 抛物线$C_{2}:y = -\frac{1}{2}(x - t)^{2} + \frac{1}{2}t^{2} - 2$（其中$t$为常数，且$t ＞ 2$），顶点为$P$.
（1）直接写出$a$的值和点$Q$的坐标.
（2）嘉嘉说：无论$t$为何值，将$C_{1}$的顶点$Q$向左平移2个单位长度后一定落在$C_{2}$上.
淇淇说：无论$t$为何值，$C_{2}$总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
（3）当$t = 4$时，
①求直线$PQ$的解析式；
②作直线$l// PQ$，当$l$与$C_{2}$的交点到$x$轴的距离恰为6时，求$l$与$x$轴交点的横坐标.
（4）设$C_{1}$与$C_{2}$的交点$A$，$B$的横坐标分别为$x_{A}$，$x_{B}$，且$x_{A} ＜ x_{B}$. 点$M$在$C_{1}$上，横坐标为$m(2\leqslant m\leqslant x_{B})$. 点$N$在$C_{2}$上，横坐标为$n(x_{A}\leqslant n\leqslant t)$. 若点$M$是到直线$PQ$的距离最大的点，最大距离为$d$，点$N$到直线$PQ$的距离恰好也为$d$，直接用含$t$和$m$的式子表示$n$.

答案： 26.解$:(1)a = \frac{1}{2}，$Q(2，-2). ………… 2分
(2)选嘉嘉的说法：Q(2，-2)向左平移2个单位长度后为(0，-2)，
当x = 0时，$y = -\frac{1}{2}(0 - t)^2 + \frac{1}{2}t^2 - 2 = -2.$
∴Q(2，-2)向左平移2个单位长度后落在$C_2$上. ………… 5分
选淇淇的说法：$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2tx + t^2) + \frac{1}{2}t^2 - 2 = -\frac{1}{2}x^2 + tx - 2，$
当x = 0时，y = -2.
无论t为何值，$C_2$一定过点(0，-2). ………… 5分
(3)①t = 4时，$C_2$的解析式为$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 6，$
∴顶点坐标为P(4，6).
设直线PQ的解析式为y = kx + b.
依题意，得$\begin{cases}4k + b = 6, \\2k + b = -2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 4, \\b = -10.\end{cases}$
∴直线PQ的解析式为y = 4x - 10. ………… 7分
②当l与$C_2$的交点到x轴的距离为6时，可得y = 6或y = -6.
对于$C_2$：$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 6.$
当y = 6时，x = 4.到x轴的距离为6的点即为点P，不合题意，舍去.
当y = -6时，$-6 = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 6，$解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{6}，$$x_2 = 4 - 2\sqrt{6}.$
∵l//PQ，
∴设直线l的解析式为y = 4x + b'.
将$x_1 = 4 + 2\sqrt{6}，$y = -6代入，得$-6 = 4×(4 + 2\sqrt{6}) + b'.$解得$b' = -22 - 8\sqrt{6}.$
∴直线l的解析式为$y = 4x - 22 - 8\sqrt{6}.$
当y = 0时，$x = \frac{11 + 4\sqrt{6}}{2}$
∴l与x轴交点的横坐标为$\frac{11 + 4\sqrt{6}}{2}$
同理，当$x_2 = 4 - 2\sqrt{6}$时，l与x轴交点的横坐标为$\frac{11 - 4\sqrt{6}}{2} ………… 11$分
(4)n = t - m + 2. ………… 13分