《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

16. 如图，在正方形$ABCD$中，$AB=\sqrt{10}$，点$E$在边$AD$上，$AE = 1$，将线段$AE$绕点$A$旋转，得到线段$AP$，连接$BP$，$CP$，当$\angle ABP$最大时，$CP$的长为5或√13。

答案：
16.5或$\sqrt{13}$　解析:本题考查切线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定及性质、最值问题.由分析可知点P的轨迹是以点A为圆心、1为半径的圆，
∴当BP为$\odot A$的切线时，∠ABP最大，此时AP⊥BP,
∴BP = $\sqrt{AB² - AP²}=3$.分两种情况讨论:如图1,过点P作PF⊥CB交CB的延长线于点F.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC = 90°,
∴PF//AB,
∴∠BPF = ∠ABP,
∴△BPF∽△ABP,$\frac{BF}{AP}=\frac{PF}{BP}=\frac{BP}{AB}$,即$\frac{BF}{1}=\frac{PF}{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}$,
∴BF = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$,PF = $\frac{9\sqrt{10}}{10}$,CF = $\frac{13\sqrt{10}}{10}$,
∴CP = $\sqrt{CF² + PF²}=5$.如图2,过点P作PG⊥BC于点G,同理可得BG = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$,PG = $\frac{9\sqrt{10}}{10}$,
∴CG = $\frac{7\sqrt{10}}{10}$,
∴CP = $\sqrt{CG² + PG²}=\sqrt{13}$.综上,CP的长为5或$\sqrt{13}$.

17. （本小题满分7分）
如图，数轴上点$A$，$B$，$C$，$D$对应的数分别为$-3$，$1$，$x$，$6$，点$C$在线段$BD$上，且不与端点重合。
（1）若$x = 2$，求$A$，$B$，$C$，$D$四点表示的数的和；
（2）若线段$AB$，$BC$，$CD$能围成等腰三角形，求$x$的值。

答案： 17.解:
(1)当x = 2时,A,B,C,D四点表示的数的和为(−3)+1+2+6 = 6. ……3分
(2)根据题意,得AB = 1 - (-3) = 4,BC = x - 1,CD = 6 - x,BD = 6 - 1 = 5. ……4分
当AB为底时,则有BC = CD = $\frac{1}{2}$BD = 2.5,
∴x - 1 = 2.5.解得x = 3.5. ……5分
当AB为腰,且AB = BC = 4时，
∴x - 1 = 4.解得x = 5. ……6分
当AB为腰,且AB = CD = 4时，
∴6 - x = 4.解得x = 2.
综上,x的值为3.5或5或2. ……7分

18. (本小题满分8分)
老师所留的作业中有这样一道分式的计算题：$\frac{2}{a + 1}+\frac{a + 5}{a^{2}-1}$，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

(1)对于两人的做法，下列判断正确的是(B)
A. 甲乙都对
B. 甲乙都错
C. 甲对乙错
D. 甲错乙对
(2)若正确，说明每步的依据；若错误，则甲同学的解答从第一步开始出现错误，乙同学的解答从第二步开始出现错误，并重新写出完成此题的正确解答过程；
(3)解分式方程：$\frac{2}{x + 1}+\frac{x + 5}{x^{2}-1}=\frac{4}{x - 1}$，体会与分式化简的关系。

答案： 18.解:
(1)B ……1分
(2)一 二 ……3分
$\frac{2}{a + 1}+\frac{a + 5}{a² - 1}=\frac{2(a - 1)}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a + 5}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a - 2 + a + 5}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{3a + 3}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{3(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{3}{a - 1}$. ……5分
(3)方程两边同乘(x + 1)(x - 1),得2(x - 1)+x + 5 = 4(x + 1).解得x = -1.检验,当x = -1时,(x + 1)(x - 1) = 0,因此原分式方程无解. ……8分