《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

22. （本小题满分9分）
背景 图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线$PH$垂直，且$PH$垂直于底板$MN$，$PH = 6$mm，夹纸板截线$PB$与扣板截线$PA$的夹角始终保持$135^{\circ}$。
测量 如图2（甲），未装入纸张时，点$B$落在$MN$上，此时$\angle BPH = 30^{\circ}$。
如图2（乙），装满纸张时，点$A$落在$MN$上，此时$\angle APH = 45^{\circ}$。
计算 借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号）
（1）求夹纸板截线$PB$与扣板截线$PA$的长；
（2）如图2（丙），装入30张纸后测得$\angle APH = 75^{\circ}$，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度；
（3）直接写出未装入纸张时$A$，$H$两点之间的距离。

答案： 22.解:
(1)在$Rt \triangle PBH$中,$\angle BPH = 30°$,$PH = 6$mm,
∴$PB = \frac{PH}{\cos \angle BPH} = 4\sqrt{3}$(mm). 2分
在$Rt \triangle PAH$中,$\angle APH = 45°$,$PH = 6$mm,
∴$PA = \frac{PH}{\cos \angle APH} = 6\sqrt{2}$(mm). 4分
(2)如图,设纸张的上边缘$BQ \perp PH$于点Q.
∵$\angle BPA = 135°$,$\angle APH = 75°$,
∴$\angle BPH = 60°$. 在$Rt \triangle BPQ$中,$\angle BPH = 60°$,$PB = 4\sqrt{3}$mm,
∴$PQ = PB · \cos \angle BPH = 2\sqrt{3}$(mm).
∴$HQ = (6 - 2\sqrt{3})$mm. 6分
$\frac{6 - 2\sqrt{3}}{30} = \frac{3 - \sqrt{3}}{15}$(mm),
∴每张纸的厚度为$\frac{3 - \sqrt{3}}{15}$mm. 7分
(3)$(3\sqrt{2} + 3\sqrt{6})$mm. 9分