《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
如图1和图2，抛物线$L_{1}:y = \frac{1}{4}(x - 6)^{2} - 16$与$x$轴交于$A$，$B$两点，抛物线$L_{2}:y = \frac{1}{4}x^{2} + bx + c$与$x$轴交于点$C( - 10,0)$和点$M(m,0)$，其中$m ＞ - 10$。抛物线$L_{1}$，$L_{2}$与$y$轴分别交于点$P$，$N$。
（1）求$A$，$B$两点的坐标；
（2）如图1，当点$P$，$N$重合时，求抛物线$L_{2}$的表达式及其顶点坐标；
（3）如图2，连接$MN$，若抛物线$L_{1}$的顶点落在由线段$MN$及抛物线$L_{2}$围成的封闭图形内部（不含边界），求$m$的取值范围。

答案： 23.解:
(1)令$y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 16 = 0$, 解得$x_1 = -2$,$x_2 = 14$.
∴$A(-2,0)$,$B(14,0)$. 3分
(2)令$x = 0$,则$y = \frac{1}{4} × (0 - 6)^2 - 16 = -7$.
∴$P(0,-7)$.
∵抛物线$L_2:y = \frac{1}{4}x^2 + bx + c$与x轴交于点$C(-10,0)$和点$M(m,0)$,
∴设抛物线$L_2$的表达式为$y = \frac{1}{4}(x + 10)(x - m)$. 当点P,N重合时,$N(0,-7)$. 将点$N(0,-7)$代入$y = \frac{1}{4}(x + 10)(x - m)$, 得$-7 = \frac{1}{4}(0 + 10)(0 - m)$.解得$m = \frac{14}{5}$
∴抛物线$L_2$的表达式为$y = \frac{1}{4}(x + 10)\left(x - \frac{14}{5}\right)$,即$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{9}{5}x - 7$. 6分
当$x = -\frac{9}{5} × 2 = -\frac{18}{5}$时,$y = -\frac{256}{25}$,
∴抛物线$L_2$的顶点坐标是$\left(-\frac{18}{5}, -\frac{256}{25}\right)$. 7分
(3)
∵抛物线$L_1:y = \frac{1}{4}(x - 6)^2 - 16$,
∴其顶点坐标是$(6,-16)$. 当点$(6,-16)$在抛物线$L_2$上时, $-16 = \frac{1}{4}(6 + 10)(6 - m)$.解得$m = 10$.
∵$N\left(0,-\frac{5}{2}m\right)$,$M(m,0)$,
∴直线MN的表达式为$y = \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}m$. 当点$(6,-16)$在线段MN上时, $-16 = \frac{5}{2} × 6 - \frac{5}{2}m$.解得$m = \frac{62}{5}$
∴m的取值范围是$10 ＜ m ＜ \frac{62}{5}$. 11分