《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

21. （本小题满分9分）
如图1，图2，正方形ABCD的边长为5，扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE = 2，点E，F分别在边AD，CD上，DE = DF（DE ≥ 2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为$\overset{\frown}{EMF}$.
（1）如图1，当AE = 3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF = 150°时，求$\overset{\frown}{EMF}$的长.

答案： 21.解:
(1)$\because$四边形$ABCD$为正方形,$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$,$AD = 5$. $\because AE = 3$,$\therefore DE = AD - AE = 2$,$\therefore DE = DF = OE = OF = 2$,$\therefore$四边形$OEDF$为菱形.又$\because \angle ADC = 90^{\circ}$,$\therefore$四边形$OEDF$为正方形,$\therefore \angle EOF = 90^{\circ}$,$\therefore \angle EMF=\frac{1}{2}\angle EOF = 45^{\circ}$.
(2)连接$EF$交$OM$于点$G$. $\because$四边形$OEMF$为菱形,$\therefore EF \perp OM$,$OG=\frac{1}{2}OM$. $\because OM = OE = 2$,$\therefore OG = 1$. $\therefore$在$Rt \triangle EGO$中,$EG=\sqrt{OE^{2}-OG^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.又$\because \angle EDO = 45^{\circ}$,$\therefore DE=\frac{EG}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.
(3)①当$\overset{\frown}{EMF}$为优弧时,$l_{\overset{\frown}{EMF}}=\frac{(360 - 150) × \pi × 2}{180}=\frac{7\pi}{3}$.
②当$\overset{\frown}{EMF}$为劣弧时,$l_{\overset{\frown}{EMF}}=\frac{150 × \pi × 2}{180}=\frac{5\pi}{3}$. 综上,$\overset{\frown}{EMF}$的长为$\frac{7\pi}{3}$或$\frac{5\pi}{3}$.

22. （本小题满分9分）
一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀. 在0 ~ 100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y = αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数. 已知铜的线膨胀系数α_铜 = 1.7 × 10⁻⁵（单位：/℃）；原长为2.5 m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8 × 10⁻³ m.
（1）原长为0.6 m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.
（2）求铁的线膨胀系数α_铁；若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8 × 10⁻⁴ m，求该铁棒温度的增加量.
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量.

答案： 22.解:
(1)该铜棒的伸长量为$1.7 × 10^{-5} × 0.6 × 50 = 5.1 × 10^{-4}(m)$.
(2)$\alpha_{铁}=(1.8 × 10^{-3}) ÷ 2.5 ÷ (80 - 20)=1.2 × 10^{-5}(/^{\circ}C)$.该铁棒温度的增加量为$4.8 × 10^{-4} ÷ (1.2 × 10^{-5}) ÷ 1 = 40(^{\circ}C)$.
(3)设该铁棒温度的增加量为$(m - 20)^{\circ}C$,则铜棒温度的增加量为$m^{\circ}C$.由题意,得$1.7 × 10^{-5} × (m - 20)=1.2 × 10^{-5} × m$,解得$m = 68$.答:该铁棒温度的增加量为$68^{\circ}C$.