《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

18. (2025·石家庄27中模拟)(本小题满分8分)
有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示，设长方形和正方形的面积分别为$S_{1}$和$S_{2}$。
(1)正方形的边长为a - 5；(用含$a$的式子表示)
(2)比较$S_{1}$＜$S_{2}$；(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”)
(3)若$a$为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于63吗？若可以，求出$a$的值；若不可以，请说明理由。

答案： 18.解:
(1)a - 5 2分
(2)＜ 4分
(3)长方形与正方形的面积之和不可以等于63. 理由如下: 设$S_1 + S_2 = 63，$
∴$(a - 4)(a - 6) + (a - 5)^2 = 63. $解得$a^2 - 10a - 7 = 0. $解得$a = 5 ± 4\sqrt{2}. $
∵a为正整数，
∴长方形与正方形的面积之和不可以等于63. 8分

19. (2025·湖南)（本小题满分8分）
如图，$\triangle ABC$的顶点A，C在$\odot O$上，圆心O在边AB上，$\angle ACB = 120^{\circ}$，BC与$\odot O$相切于点C，连接OC。
(1)求$\angle ACO$的度数；
(2)求证：$AC = BC$。

答案： 19.
(1)解:
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC.
∴∠OCB = 90°.
∵∠ACB = 120°，
∴∠ACO = ∠ACB - ∠OCB = 30°. 4分
(2)证明:
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠ACO = 30°.
∴∠B = 180° - (∠A + ∠ACB) = 30°.
∴∠A = ∠B.
∴AC = BC. 8分