《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

22. （本小题满分9分）
中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣. 某晚，淇淇在家透过窗户的最高点$P$恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离$BQ = 4m$，仰角为$\alpha$；淇淇向前走了3m后到达点$D$，透过点$P$恰好看到月亮，仰角为$\beta$，示意图如图所示. 已知，淇淇的眼睛与水平地面$BQ$的距离$AB = CD = 1.6m$，点$P$到$BQ$的距离$PQ = 2.6m$，$AC$的延长线交$PQ$于点$E$.（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求$\beta$的大小及$\tan \alpha$的值；
（2）求$CP$的长及$\sin \angle APC$的值.

答案：
22.解:
(1)由题意，得∠CEP = 90°，CE = DQ = BQ - BD = 1m，PE = PQ - EQ = 1m，
∴β = 45°. ………… 2分
在Rt△PAE中，$\tanα = \frac{PE}{AE} = \frac{1}{4} ………… 3$分
(2)在Rt△PCE中，$CP = \sqrt{CE^2 + PE^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}(m). ………… 5$分
如图，过点C作CH⊥AP于点H，在Rt△ACH中，$\tanα = \frac{CH}{AH}$
∵$\tanα = \frac{1}{4}，$
∴$\frac{CH}{AH} = \frac{1}{4}$
设CH = x，则AH = 4x.
由勾股定理，得$x^2 + (4x)^2 = 3^2.$
解得$x = \frac{3\sqrt{17}}{17}($负值已舍去).
∴在Rt△HPC中，$\sin∠APC = \frac{CH}{CP} = \frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{34}}{34} ………… 9$分

23. （本小题满分10分）
情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心$O$为顶点的等腰直角三角形后得到的. 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.
如图3，嘉嘉沿虚线$EF$，$GH$裁剪，将该纸片剪成①②③三块，再按照图4所示进行拼接，根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段$EF$的长；
（2）直接写出图3中所有与线段$BE$相等的线段，并计算$BE$的长.
探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的$BC$边上找一点$P$（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段$PQ$）的位置，并直接写出$BP$的长.

答案：
23.解:操作
(1)EF = 1. ………… 2分
(2)与BE长度相等的线段有AH，GH，GE. ………… 3分
由题意，得△AEF是等腰直角三角形，
∴EF = AF = 1.
∴$AE = \sqrt{EF^2 + AF^2} = \sqrt{2}.$
∴$BE = AB - AE = 2 - \sqrt{2}. ………… 6$分
探究 如图1，$BP = \sqrt{2}.$

或如图2，$BP = 2 - \sqrt{2}. ………… 10$分