《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

7. 如图，点$O$，$I$分别是$\triangle ABC$的外心和内心，连接$OB$，$IA$。若$\angle OBC = 20^{\circ}$，则$\angle IAB =$(D)

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： 7.D 解析:本题考查内心、外心.连接OC.
∵O是$\triangle ABC$的外心,
∴$OB = OC$,
∴$\angle OCB = \angle OBC = 20°$,
∴$\angle BOC = 180° - \angle OCB - \angle OBC = 140°$,
∴$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = 70°$.
∵I是$\triangle ABC$的内心,
∴AI平分$\angle BAC$,
∴$\angle IAB = \frac{1}{2}\angle BAC = 35°$.故选D.

8. 五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据。若这五个数据的中位数是5，唯一众数是6，则他们投中次数的总和可能是(C)

A.16
B.17
C.24
D.25

答案： 8.C 解析:本题考查中位数、众数.
∵这五个数据的中位数是5,唯一众数是6,
∴当投中次数的总和最小时,另外两个数分别为0,1,此时和为18;当投中次数的总和最大时,另外两个数分别为3,4,此时和为24.故选C.

9. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$BC$，$CA$，$AB$上，且满足$DF // AC$，$DE // AB$，连接$AD$。
①当$DE \perp AC$时，四边形$AFDE$是矩形；
②当$AD$平分$\angle BAC$时，四边形$AFDE$是菱形；
③当$\triangle ABC$为等腰直角三角形时，四边形$AFDE$是正方形。
上述说法正确的是(A)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 9.A 解析:本题考查特殊四边形的判定.
∵$DF // AC$,$DE // AB$,
∴四边形AFDE是平行四边形. ①当$DE \perp AC$时,$□ AFDE$是矩形,正确;②当AD平分$\angle BAC$时,$\angle DAF = \angle DAE$,
∵$\angle DAE = \angle ADE$,
∴$DE = AE$,
∴$□ AFDE$是菱形,正确;③当$DE \perp AC$且AD平分$\angle BAC$时,$□ AFDE$是正方形,错误.故选A.

10. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房。设有客房$x$间，房客$y$人，则可列方程组为(B)

A.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\ 9(x + 1) = y\end{cases}$
B.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\ 9(x - 1) = y\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x + 7 = y, \\ 9(x + 1) = y\end{cases}$
D.$\begin{cases}7x - 7 = y, \\ 9(x - 1) = y\end{cases}$

答案： 10.B 解析:本题考查二元一次方程组的应用. 由题意,可列方程组为$\begin{cases}7x + 7 = y, \\9(x - 1) = y.\end{cases}$故选B.

11. 如图，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$F$为$DE$的中点，连接$AF$并延长交$BC$于点$G$。若$\triangle EFG$的面积为2，则$\triangle ABC$的面积为(C)

A.12
B.24
C.48
D.96

答案： 11.C 解析:本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定及性质.过点D作$DH // BC$交AG于点H.
∵F是DE的中点,易得$\triangle DFH \cong \triangle EFG$,
∴$S_{\triangle DFH} = S_{\triangle EFG} = 2$,$FH = FG$.
∵$DH // BG$,
∴$\triangle ADH \sim \triangle ABG$.
∵D是AB的中点,
∴$\frac{S_{\triangle ADH}}{S_{\triangle ABG}} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{1}{4}$,$AH = GH$,
∴$AH = 2FH$,
∴$S_{\triangle ADH} = 2S_{\triangle DFH} = 4$,
∴$S_{\triangle ABG} = 16$,
∴$S_{四边形BDFG} = 10$,
∴$S_{\triangle DBE} = 12$.
∵DE是$\triangle ABC$的中位线,
∴$DE // AC$,$\frac{DE}{AC} = \frac{1}{2}$,
∴$\triangle DBE \sim \triangle ABC$,
∴$\frac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{DE}{AC}\right)^2 = \frac{1}{4}$,
∴$S_{\triangle ABC} = 48$.故选C.

12. 已知直线$l_{1}:y = (k - 1)x + k + 1$和直线$l_{2}:y = kx + k + 2$，其中$k$为不小于2的自然数。当$k = 2$，$3$，$4$，$·s$，$2025$时，设直线$l_{1}$，$l_{2}$与$x$轴围成的三角形的面积分别为$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$，$·s$，$S_{2025}$，则$S_{2} + S_{3} + S_{4} + ·s + S_{2025}$的值为(D)

A.$\frac{1012}{2025}$
B.$\frac{2024}{2025}$
C.1
D.$\frac{4048}{2025}$

答案： 12.D 解析:本题考查直线与坐标轴交点的求解、三角形的面积.由题意可知k为不小于2的自然数.令$y = (k - 1)x + k + 1 = 0$,得$x = -\frac{k + 1}{k - 1}$.令$y = kx + k + 2 = 0$,得$x = -\frac{k + 2}{k}$. 令$(k - 1)x + k + 1 = kx + k + 2$,得$x = -1$,此时$y = kx + k + 2 = 2$,
∴直线$l_1$,$l_2$相交于点$(-1,2)$,
∴直线$l_1$,$l_2$与x轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2} × 2 × \left(\left|-\frac{k + 1}{k - 1}\right| - \left|-\frac{k + 2}{k}\right|\right) = 2\left(\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}\right)$,
∴$S_2 + S_3 + S_4 + ·s + S_{2025} = 2 × \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ·s + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}\right) = 2 × \left(1 - \frac{1}{2025}\right) = \frac{4048}{2025}$.故选D.

13. 计算$\sqrt{27} - \sqrt{3} =$$2\sqrt{3}$。

答案： 13.$2\sqrt{3}$

14. 若关于$x$的一元二次方程$2x^{2} + (k + 1)x - 6 = 0$的一个根为$-1$，则另一个根为3。

答案： 14.3