《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

25. （本小题满分12分）
已知$\odot O$的半径为3，弦$MN = 2\sqrt{5}$. 在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 3\sqrt{2}$. 在平面上，先将$\triangle ABC$和$\odot O$按图1位置摆放（点$B$与点$N$重合，点$A$在$\odot O$上，点$C$在$\odot O$内），随后移动$\triangle ABC$使点$B$在弦$MN$上移动，点$A$始终在$\odot O$上随之移动. 设$BN = x$.
（1）当点$B$与点$N$重合时，求劣弧$\overset{\frown}{AN}$的长；
（2）当$OA// MN$时，如图2，求点$B$到$OA$的距离，并求此时$x$的值；
（3）设点$O$到$BC$的距离为$d$.
①当点$A$在劣弧$\overset{\frown}{MN}$上，且过点$A$的切线与$AC$垂直时，求$d$的值；
②直接写出$d$的最小值.

答案：
25.解:
(1)连接AO，NO，可知AO = NO = AB = 3.
∴△AON为等边三角形.
∴∠AON = 60°.
∴$l_AN = \frac{60\pi×3}{180} = \pi. ………… 3$分
(2)如图1，连接ON，作OD⊥MN于点D，

BE⊥OA于点E，则$DN = \frac{1}{2}MN = \sqrt{5}.$
又OA//MN，
∴四边形BDOE为矩形.
∴BE = OD，BD = OE.
在Rt△ODN中，$OD = \sqrt{ON^2 - DN^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = 2.$
∴点B到OA的距离BE = 2. ………… 5分
在Rt△ABE中，$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}.$
∴DN = AE.
∴BD + DN = OE + AE，即BN = OA = 3.
∴x的值为3. ………… 7分
(3)①如图2，
∵过点A的切线与AC垂直，
∴圆心O在AC上.

在Rt△ABC中，$CA = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{3}.$
∴$CO = CA - OA = 3\sqrt{3} - 3.$
作OF⊥BC于点F，则OF//AB.
∴△COF∽△CAB.
∴$\frac{OF}{AB} = \frac{CO}{CA}，$即$\frac{d}{3} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{3\sqrt{3}}，$解得$d = 3 - \sqrt{3}.$
∴d的值为$3 - \sqrt{3}. ………… 10$分
$②\frac{2}{3} ………… 12$分