《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
如图，在矩形$ABCD$中，$AD=3cm$，$AB=4cm$，点$M$，$N$分别在$AB$，$CD$边上，且$AM=CN$，将$△ADM$，$△BCN$分别沿$DM$，$BN$折叠，点$A$的对应点为点$A'$，点$C$的对应点为点$C'$，点$A'$不得超过对角线$BD$，连接$A'C'$，$BD$。
(1) 当$A'C'\perp BD$时，求线段$A'C'$的长度；
(2) 当$A'C'// AD$时，求线段$A'C'$的长度；
(3) 在折叠过程中，直接写出线段$A'C'$的最小值。

答案：
23.解:
(1)如图1，连接$A^{\prime}B$，$C^{\prime}D$，设$A^{\prime}C^{\prime}$交$BD$于点$O$.
在矩形$ABCD$中，$AD = 3cm$，$AB = 4cm$，
∴$BD = 5cm$. 1分
根据矩形的性质、折叠的性质及$AM = CN$易得$\triangle ADM \cong \triangle A^{\prime}DM \cong \triangle CBN \cong \triangle C^{\prime}BN$，
∴$A^{\prime}M = C^{\prime}N$，$\angle DMA = \angle DMA^{\prime} = \angle BNC = \angle BNC^{\prime}$，
∴$\angle A^{\prime}MB = \angle C^{\prime}ND$，
∴$\triangle A^{\prime}BM \cong \triangle C^{\prime}DN(SAS)$，
∴$A^{\prime}B = C^{\prime}D$.
又
∵$A^{\prime}D = BC^{\prime} = AD = 3cm$，
∴四边形$A^{\prime}BC^{\prime}D$是平行四边形. 3分
∴$OB = DO = \frac{5}{2}cm$，$OA^{\prime} = OC^{\prime}$，
∵$A^{\prime}C^{\prime} \perp BD$，
∴$OC^{\prime} = \sqrt{BC^{\prime 2} - OB^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}cm$，
∴$A^{\prime}C^{\prime} = 2OC^{\prime} = \sqrt{11}cm$. 5分

(2)如图2，当$A^{\prime}C^{\prime} // AD$时，延长$A^{\prime}C^{\prime}$交$CD$于点$H$，延长$C^{\prime}A^{\prime}$交$AB$于点$K$.
∵$A^{\prime}C^{\prime} // AD$，
∴$HK // AD$.
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB // CD$，$AD \perp AB$，
∴四边形$AKHD$是矩形，
∴$\angle A^{\prime}KM = \angle C^{\prime}HN = 90^{\circ}$，$HK = AD = 3cm$.
又
∵$\angle A^{\prime}MK = \angle C^{\prime}NH$，$A^{\prime}M = C^{\prime}N$，
∴$\triangle A^{\prime}KM \cong \triangle C^{\prime}HN(AAS)$，
∴$A^{\prime}K = C^{\prime}H$，$KM = HN$.
∴$AK = CH = BK = \frac{1}{2}AB = 2cm$，
∴$C^{\prime}K = \sqrt{C^{\prime}B^{2} - BK^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}(cm)$，
∴$C^{\prime}H = A^{\prime}K = HK - C^{\prime}K = (3 - \sqrt{5})cm$，
∴$A^{\prime}C^{\prime} = C^{\prime}K - A^{\prime}K = \sqrt{5} - (3 - \sqrt{5}) = (2\sqrt{5} - 3)cm$. 9分
(3)$A^{\prime}C^{\prime}$的最小值为1. 11分