《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

8. 若$a$，$b$是正整数，且满足$\underset{8个2^{a}相加}{\underbrace{2^{a}+2^{a}+·s +2^{a}}}=\underset{8个2^{b}相乘}{\underbrace{2^{b}× 2^{b}× ·s × 2^{b}}}$，则$a$与$b$的关系正确的是(A)

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^{8}$
D.$3a = 8 + b$

答案： 8.A 解析:本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方的运算的应用.由题意，得$2^a×8 = (2^b)^8，$即$2^a×2^3 = 2^{8b}，$
∴a + 3 = 8b.故选A.

9. 淇淇在计算正数$a$的平方时，误算成$a$与2的积，求得的答案比正确答案小1，则$a$ =(C)

A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$

答案： 9.C 解析:本题考查解一元二次方程.由题意，得$2a + 1 = a^2，$解得$a_1 = 1 + \sqrt{2}，$$a_2 = 1 - \sqrt{2}.$
∵a是正数，
∴$a = 1 + \sqrt{2}.$故选C.

10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AE$平分$\triangle ABC$的外角$\angle CAN$，点$M$是$AC$的中点，连接$BM$并延长交$AE$于点$D$，连接$CD$.
求证：四边形$ABCD$是平行四边形.
证明：$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle 3$.
$\because \angle CAN = \angle ABC + \angle 3$，$\angle CAN = \angle 1 + \angle 2$，$\angle 1 = \angle 2$，
$\therefore$ ①.
又$\angle 4 = \angle 5$，$MA = MC$，
$\therefore \triangle MAD\cong \triangle MCB$( ② ).
$\therefore MD = MB$. $\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为(D)

A.$\angle 1 = \angle 3$，$AAS$
B.$\angle 1 = \angle 3$，$ASA$
C.$\angle 2 = \angle 3$，$AAS$
D.$\angle 2 = \angle 3$，$ASA$

答案： 10.D 解析:本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质.①为∠2 = ∠3，②为ASA.故选D.

11. 直线$l$与正六边形$ABCDEF$的边$AB$，$EF$分别相交于点$M$，$N$，如图所示，则$\alpha + \beta$ =(B)

A.$115^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$144^{\circ}$

答案： 11.B 解析:本题考查正多边形的内角和、对顶角相等.
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴$∠A = ∠F = \frac{(6 - 2)×180°}{6} = 120°.$
∵∠A + ∠F + ∠AMN + ∠FNM = 360°，
∴∠AMN + ∠FNM = 120°.
∵α = ∠AMN，β = ∠FNM，
∴α + β = 120°.故选B.

12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”，如图，矩形$ABCD$位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(B)

A.点$A$
B.点$B$
C.点$C$
D.点$D$

答案： 12.B 解析:本题考查矩形的性质、坐标与图形、分式的值的大小比较.设点A(a，b)，AB = m，AD = n，其中a，b，m，n均大于0.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD = AB = m，BC = AD = n，
∴B(a + m，b)，C(a + m，b + n)，D(a，b + n).
∵$\frac{b}{a + m}＜\frac{b + n}{a + m}，$$\frac{b}{a + m}＜\frac{b}{a}＜\frac{b + n}{a}，$
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.

13. 已知$A$为整式，若计算$\frac{A}{xy + y^{2}}-\frac{y}{x^{2} + xy}$的结果为$\frac{x - y}{xy}$，则$A$ =(A)

A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$

答案： 13.A 解析:本题考查分式的加减运算.由题意，得$\frac{A}{xy + y^2} = \frac{y}{x^2 + xy} + \frac{x - y}{xy} = \frac{y^2}{xy(x + y)} + \frac{x^2 - y^2}{xy(x + y)} = \frac{x^2}{xy(x + y)} = \frac{x}{xy + y^2}，$
∴A = x.故选A.

14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴. 如图，某折扇张开的角度为$120^{\circ}$时，扇面面积为$S$，该折扇张开的角度为$n^{\circ}$时，扇面面积为$S_{n}$. 若$m = \frac{S_{n}}{S}$，则$m$与$n$关系的图象大致是(C)
 .

答案：
14.C 解析:本题考查正比例函数的应用、扇形的面积公式.如图，设OA = r，OB = R.由题意，得$m = \frac{S_n}{S} = \frac{\frac{n\pi(R^2 - r^2)}{360}}{\frac{n}{120}} = \frac{n}{120}，$
∴m是n的正比例函数，只有C项符合题意.故选C.