《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. (本小题满分11分)
根据素材,完成探究任务:城墙建多高才能抵御进攻方的进攻?
【素材呈现】图1是古代进攻方的一种攻城器械“发石车”.如图2,防守方护城墙BD = 10m,垂直于地面OB,进攻方把“发石车”放置在距B处90m的O处,石块从O处竖直方向上的C处被投出,当石块在空中飞行到与OC的水平距离为50m时,石块离地面OB的最高高度为27m.(注:本题第(2)问不考虑刚好经过点D的情况)
【解决问题】(1)当OC = 2m时.
①参照图2所建立的坐标系,求抛物线(石块运动轨迹)的解析式;
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗?若能,城墙应加建多高以上,才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙;若不能,请说明理由.
(2)石块出发点C与O的距离在什么范围内,防守方无须加高城墙?

答案： 23.解:
(1)①
∵OC=2m，
∴C(0,2). 1分
设抛物线的解析式为y=a(x-50)²+27(a≠0).
将C(0,2)代入y=a(x-50)²+27，
得2=a(0-50)²+27.解得a=-$\frac{1}{100}$.
∴y=-$\frac{1}{100}$(x-50)²+27. 4分
②进攻方的石块能飞进防守方的城墙. 5分
∵BD=10m,OB=90m，
∴D(90,10).
令x=90，则y=-$\frac{1}{100}$×(90-50)²+27=11. 7分
∵11＞10，
∴进攻方的石块能飞进防守方的城墙. 8分
∵11-10=1(m)，
∴城墙应加高1m以上. 9分
(2)设C(0,n).
将C(0,n)代入y=a(x-50)²+27，
得n=a(0-50)²+27，
∴a=$\frac{n-27}{2500}$. 10分
∴抛物线的解析式为y=$\frac{n-27}{2500}$(x-50)²+27.
∴当x=90时，$\frac{n-27}{2500}$(90-50)²+27＜10，
解得n＜$\frac{7}{16}$.
∴当OC＜$\frac{7}{16}$m时，防守方无须加高城墙. 11分