《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

13. 分解因式：$(5a - b)x^{2}-(5a - b)y^{2}=$(5a−b)(x + y)(x−y).

答案： 13.(5a−b)(x + y)(x−y)

14. 已知反比例函数$y_{1}=\frac{k}{x}$的图象与正比例函数$y_{2}=ax$的图象交于点A(1,2)和点B，如图，当$y_{1}＞y_{2}$时，x的取值范围是0＜x＜1或x＜−1.

答案： 14.0＜x＜1或x＜−1　解析:本题考查反比例函数及正比例函数图象上点的坐标特征.
∵题图中两函数图象交于点A(1,2)和点B，
∴B(−1,−2)，
∴当y₁＞y₂时，0＜x＜1或x＜−1.

15. 如图，$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$，点A，B，C是$\odot O$上的三个点. 若四边形OABC是菱形，则阴影部分的面积是4π.

答案： 15.4π　解析:本题考查菱形的性质、扇形面积公式.
∵四边形OABC是菱形,
∴OA = AB = OB = BC = OC，
∴△OAB,△OBC均为等边三角形，∠AOB = 60°,∠BOC = 60°,
∴∠AOC = 120°，
∴S_{阴影}=$\frac{120×π×(2\sqrt{3})^{2}}{360}$ = 4π.

16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在y轴与x轴上，点B的坐标为(5,4). 抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-bx + c$经过点$(m,n)$和$(m + 2,n)$，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是$x＞2m - 2$. 若抛物线与矩形的边有两个交点，则c的取值范围是0＜c＜$\frac{15}{2}$或8＜c＜12.

答案：
16.0＜c＜$\frac{15}{2}$或8＜c＜12　解析:本题考查矩形的性质、二次函数的图象和性质.
∵四边形OABC是矩形,O(0,0),B(5,4),点A在y轴上,点C在x轴上,
∴A(0,4),C(5,0).
∵抛物线y = $\frac{1}{2}$x²−bx + c经过点(m,n)和(m + 2,n),
∴对称轴为直线x = $\frac{m + m + 2}{2}$ = m + 1.
∵当y随x的增大而增大时,x的取值范围是x＞2m−2，
∴2m−2 = m + 1,解得m = 3，
∴对称轴为直线x = 4，
∴−$\frac{-b}{2×\frac{1}{2}}$ = 4,解得b = 4，
∴y = $\frac{1}{2}$x²−4x + c.如图1,当该抛物线经过点O(0,0)时,c = 0;当该抛物线经过点C(5,0)时,$\frac{1}{2}$×5²−4×5 + c = 0,解得c = $\frac{15}{2}$，
∴0＜c＜$\frac{15}{2}$.如图2,当该抛物线经过点(4,0)时,$\frac{1}{2}$×4²−4×4 + c = 0,解得c = 8;当该抛物线经过点(4,4)时,$\frac{1}{2}$×4²−4×4 + c = 4,解得c = 12,
∴8＜c＜12.综上,c的取值范围是0＜c＜$\frac{15}{2}$或8＜c＜12.

17. （本小题满分7分）
对于任意数a，b，规定：$a\oplus b=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})-b^{3}$，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算. 例：$(-2)\oplus 3=(-2 + 3)× [(-2)^{2}-(-2)× 3 + 3^{2}] - 3^{3}$
$=1× 19 - 27$
$=19 - 27$
$=-8$.
（1）求$(-2)\oplus (-4)$的值；
（2）嘉嘉说：“无论a，b取何值，运算结果只和a有关，和b无关.”嘉嘉说的对吗？说明理由.

答案： 17.解:
(1)(−2)⊕(−4)
= (−2−4)×[(−2)²−(−2)×(−4)+(−4)²]−(−4)³
= (−6)×12 + 64
= −72 + 64
= −8. 4分
(2)嘉嘉说的对.
理由如下:
∵a⊕b = (a + b)(a²−ab + b²)−b³
= a³−a²b + ab² + a²b−ab² + b³−b³
= a³
∴无论a,b取何值，运算结果只和a有关，和b无关，
∴嘉嘉说的对. 7分

18. (本小题满分8分)
在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”. 规则如下：每位同学可以完成解分式方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一位同学接着前一位同学的步骤进行下一步运算，直至完成分式方程的求解过程.
问题情境：

(1)在“接力游戏”中，从甲同学开始出现错误，你的判断依据是去括号法则；
(2)写出正确的解答过程.

答案： 18.解:
(1)甲 去括号法则 2分
(2)1−$\frac{x−2}{2x + 4}$ = −$\frac{x}{x + 2}$
去分母,得2x + 4−x + 2 = −2x.
移项,得2x−x + 2x = −2−4.
合并同类项，得3x = −6.
系数化为1,得x = −2.
经检验,x = −2是原分式方程的增根，所以原分式方程无解. 8分