《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

20. （本小题满分8分）
图1是圆拱形门洞和两扇关闭的大门，如图2，圆拱形门洞所在圆的圆心为点$O$，门缝$HF$经过圆心$O$，且垂直于水平门槛$CD$于点$F$，点$A$，$B$在$\odot O$上，$AC$，$BD$都垂直于$CD$。已知$AC = BD = 0.1$米，$CD = 1$米，$FH = 2.6$米。
（1）在图2中画出圆心$O$；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作图过程）
（2）求$\odot O$的半径；
（3）判断$CD$与$\odot O$的位置关系，并说明理由。

答案：
20.解:
(1)如图1,点O即为所求. 2分

(2)如图2,连接AB,OA,AB交HF于点E.
∵$AC \perp CD$,$BD \perp CD$,$AC = BD$,$HF \perp CD$,
∴四边形ABDC,四边形ACFE均为矩形.
∴$AB = CD = 1$米,$EF = AC = 0.1$米.
∵$FH = 2.6$米,
∴$HE = 2.5$米. 设$\odot O$的半径为r米,则$OA = r$米,$OE = (2.5 - r)$米. 在$Rt \triangle OAE$中,根据勾股定理,得$0.5^2 + (2.5 - r)^2 = r^2$, 解得$r = 1.3$.
∴$\odot O$的半径为1.3米. 6分
(3)CD与$\odot O$相切. 7分
理由:
∵$OF \perp CD$,$OF = HF - OH = 1.3$米,
∴OF为$\odot O$的半径.
∴CD与$\odot O$相切. 8分

21. （本小题满分9分）
某物流公司推行环保运输政策，通过分段计价引导客户集约化运输，并制定如下计价规则。
计价规则
货物质量不超过$10$kg时，单价为6元/kg；
货物质量超过$10$kg但不超过$20$kg时，超过$10$kg的部分单价为5元/kg；
货物质量超过$20$kg时，超过$20$kg的部分单价为4元/kg，并一次性额外收取30元的碳排放附加费。
设货物质量为$x$(kg)，运费为$y$(元)。
（1）若货物$A$质量为8kg，货物$B$质量为15kg，分别计算两个货物的运费；
（2）当$x ＞ 20$时，求$y$与$x$的函数解析式；
（3）若某货物的运费为170元，求该货物质量。

答案： 21.解:
(1)货物A的运费为$8 × 6 = 48$(元). 2分
货物B的运费为$6 × 10 + 5 × (15 - 10) = 85$(元). 4分
(2)当$x ＞ 20$时,$y = 6 × 10 + 5 × 10 + 4(x - 20) + 30 = 4x + 60$.
∴y与x的解析式为$y = 4x + 60$. 6分
(3)
∵当$x = 20$时,$6 × 10 + 5 × (20 - 10) = 110$(元),$110 ＜ 170$,
∴当运费为170元时,$x ＞ 20$. 7分
∴$4x + 60 = 170$.解得$x = 27.5$. 答:该货物质量为27.5kg. 9分