《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
琪琪在学习了二次函数之后，想利用二次函数的知识解决生活中的实际问题. 她观察发现，家中的一款铁艺工艺品（厚度忽略不计）由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似地看成抛物线形，内边缘是线段. 如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线MN，内边缘为线段OA，OB，琪琪测得外边缘上一点C与点O的水平距离为1 dm（$OH = 1dm$）时，点C到对称轴MN的距离为2 dm（$CH = 2dm$），点A与点O的水平距离为4 dm（$OQ = 4dm$）时，点A到对称轴MN的距离为2 dm（$AQ = 2dm$）. 如图3，以O为原点，以直线MN为x轴，建立平面直角坐标系.
（1）①求出对称轴MN上方抛物线$L_{1}$的解析式；
②点E在抛物线$L_{1}$上，且点E到对称轴MN的距离最大，求点E的坐标；
（2）琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线MN对称. 琪琪说：“总长10 dm的铁丝一定够用（不考虑损耗）.”你认为琪琪的说法对吗？并说明理由；
（3）琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值.

答案： 23.解:
(1)①
∵抛物线L₁过点(0,0),
∴设抛物线L₁的解析式为y = ax² + bx(a≠0).
根据题意可得A(4,2),C(1,2).
∵抛物线L₁过点A(4,2),C(1,2),
∴$\begin{cases}2 = 16a + 4b \\2 = a + b \end{cases}$
解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{2} \\b = \frac{5}{2} \end{cases}$
∴抛物线L₁的解析式为y = −$\frac{1}{2}$x² + $\frac{5}{2}$x. 3分
②经分析可知点E为抛物线L₁的顶点.
∵y = −$\frac{1}{2}$x² + $\frac{5}{2}$x = −$\frac{1}{2}$(x−$\frac{5}{2}$)² + $\frac{25}{8}$，
∴点E的坐标为($\frac{5}{2}$，$\frac{25}{8}$). 5分
(2)琪琪的说法对.
理由:设直线OA的解析式为y = kx(k≠0).
∵直线OA过点A(4,2),
∴4k = 2,解得k = $\frac{1}{2}$,
∴直线OA的解析式为y = $\frac{1}{2}$x.
设W = −$\frac{1}{2}$x² + $\frac{5}{2}$x−$\frac{1}{2}$x = −$\frac{1}{2}$x² + 2x = −$\frac{1}{2}$(x−2)² + 2.
∵−$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x = 2时,W取得最大值,为2.
∴在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直铁丝的最大长度是2dm.
∴安装4根铁丝的总长小于10dm,
即总长10dm的铁丝一定够用,
∴琪琪的说法对. 9分
(3)$\frac{29\sqrt{2}}{8}$ 11分