《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. (本小题满分11分)
结合与实践
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图1)，需找到合适的切割线.
【模型】已知矩形ABCD(数据如图2所示). 作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成长度相等的两部分.
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
【探究】根据以上描述，解决下列问题.
(1)图2中，矩形ABCD的周长为 10；
(2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求.
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
(4)如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成长度相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH ⊥ PQ于点H，连接CH.
①当∠PQC = 45°时，求tan∠BCH的值；
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长.
 
 

答案：
23.解:
(1)10
(2)如图1,直线$MN$即为所求.(答案不唯一)

(3)$\because$四边形$ABCD$是矩形,$AB = 1$,$AD = 4$,$\therefore AD// BC$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = CD$,$AD = BC$. $\because BG = AB$,$\therefore \angle AGB = 45^{\circ}$. $\because AN = GM$,$AN// GM$,$\therefore$四边形$AGMN$是平行四边形,$\therefore AG// MN$,$\therefore \angle BMN=\angle AGB = 45^{\circ}$. $\because$直线$l$垂直平分$GC$,$\therefore GM = MC$,$\therefore AN = MC$,$\therefore ND + AB + BM = MC + CD + ND$,即直线$MN$将矩形$ABCD$分成周长相等的两部分,$\therefore$直线$MN$符合要求.
(4)①如图2,过点$P$作$PJ \perp BC$于点$J$,则四边形$CDPJ$是矩形,$\therefore PJ = CD = 1$,$PD = JC$. $\because PJ \perp BC$,$\angle PQC = 45^{\circ}$,$\therefore QJ = PJ = 1$. $\because$直线$PQ$将矩形$ABCD$分成周长相等的两部分,$\therefore BQ = PD$,$\therefore BQ = JC=\frac{3}{2}$. $\because BH \perp PQ$,$\angle BQH=\angle PQC = 45^{\circ}$,$\therefore BH = QH$,$\therefore KH = BK = KQ=\frac{1}{2}BQ=\frac{3}{4}$,$\therefore CK=\frac{13}{4}- \frac{3}{4}=\frac{13}{4}-\frac{3}{4}$,$\therefore \tan \angle BCH=\frac{KH}{CK}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{4}}=\frac{3}{13}$.
②$CH = 2\sqrt{2}$.