《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (2025·河南)(本小题满分12分)
在$\angle AOB$中，点$C$是$\angle AOB$的平分线上一点，过点$C$作$CD \perp OB$，垂足为点$D$，过点$D$作$DE \perp OA$，垂足为点$E$，直线$DE$，$OC$交于点$F$，过点$C$作$CG \perp DE$，垂足为点$G$.
(1)观察猜想
如图1，当$\angle AOB$为锐角时，用等式表示线段$CG$，$OE$，$OD$的数量关系为CG + OE = OD；
(2)类比探究
如图2，当$\angle AOB$为钝角时，请依据题意补全图形(无需尺规作图)，并判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明；
(3)拓展应用
当$0^{\circ} ＜ \angle AOB ＜ 180^{\circ}$，且$\angle AOB \neq 90^{\circ}$时，若$\frac{GF}{EF} = 3$，请直接写出$\frac{OD}{CD}$的值.

答案：
24.
(1)解:CG + OE = OD 2分
(2)如图

(3)不成立，正确结论是CG - OE = OD.
证明:如图，过点C作CH⊥AE于点H.
又
∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴∠CHE = ∠HEG = ∠G = 90°.
∴四边形CGEH是矩形.
∴CG = EH = OE + OH.
∵OC平分∠AOB，
∴∠COD = ∠COH.
又
∵CD⊥OB，
∴∠ODC = ∠OHC = 90°.
又
∵OC = OC，
∴△ODC ≌ △OHC(AAS).
∴OD = OH.
∴CG = OE + OD，即CG - OE = OD. 10分
(3)解:$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 12分