《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

15. 李老师留了这样一道课后题目：已知$x$为整数，且$(x - 3)^{x + 2} = 1$，求$x$的值。数学兴趣小组的同学们进行了讨论：
小鹿：零指数幂的结果为$1$。
小唯：底数是$1$的幂的结果为$1$。
……
根据上述给出的思路，聪明的你计算出$x$的值是4，2或 - 2。

答案： 15.4，2或 - 2 解析:本题考查有理数的乘方运算、零指数幂.①
∵1的任何次幂为1，
∴x - 3 = 1，得x = 4，则x + 2 = 6，
∴(x - 3)$^{x + 2}$ = $1^6$ = 1，符合题意；②
∵ - 1的任何偶次幂为1，
∴x - 3 = - 1，得x = 2，则x + 2 = 4，
∴(x - 3)$^{x + 2}$ = $(-1)^4$ = 1，符合题意；③任何不是0的数的零次幂为1，
∴x + 2 = 0，得x = - 2，则x - 3 = - 5，
∴(x - 3)$^{x + 2}$ = $(-5)^0$ = 1，符合题意.综上所述，x的值是4，2或 - 2.

16. 如图，在平面直角坐标系中，原点$O$为正六边形$ABCDEF$的中心，$EF// x$轴，点$E$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$($k$为常数，$k ＞ 0$)的图象上，将正六边形$ABCDEF$向上平移$\sqrt{3}$个单位长度，点$D$恰好落在该函数图象上，则$k$的值为4$\sqrt{3}$。

答案：
16.4$\sqrt{3}$ 解析:本题考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合.如图，过点E作EH⊥x轴于点H，连接OE.
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE = OD，∠EOD = 360°÷6 = 60°，
∴△OED是等边三角形，
∴DE = OD.
∵EH⊥OD，
∴OH = DH = $\frac{1}{2}$OD，EH = $\sqrt{DE^2 - DH^2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$OD.设OD = 2m(m ＞ 0)，则OH = m，EH = $\sqrt{3}$m，
∴E(m，$\sqrt{3}$m)，D(2m，0).
∵将正六边形ABCDEF向上平移$\sqrt{3}$个单位长度，点D恰好落在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象上，
∴点(2m，$\sqrt{3}$)在该图象上.
∵点E也在该图象上，
∴k = 2m·$\sqrt{3}$ = m·$\sqrt{3}$m，解得m = 2(m = 0舍去)，
∴k = 4$\sqrt{3}$.

17. （本小题满分7分）
如图，晴晴家有一块长为$(4a + b)$米、宽为$(3a + b)$米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为$(2a + b)$米、宽为$(a + b)$米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦。
（1）求种植小麦的耕地面积（用含$a$，$b$的代数式表示，要求化简）；
（2）当$a = 200$，$b = 130$时，求种植小麦的耕地面积。

答案： 17.解:
(1)根据题意，得(4a + b)(3a + b) - (2a + b)(a + b) = 12$a^2$ + 7ab + $b^2$ - (2$a^2$ + 3ab + $b^2$) = 12$a^2$ + 7ab + $b^2$ - 2$a^2$ - 3ab - $b^2$ = 10$a^2$ + 4ab，即种植小麦的耕地面积为(10$a^2$ + 4ab)平方米.4分
(2)当a = 200，b = 130时，10$a^2$ + 4ab = 10×$200^2$ + 4×200×130 = 504000.
答:种植小麦的耕地面积为504000平方米.7分

18. (本小题满分8分)
计算机课上，聪聪利用软件编写了相关联的程序$A$和$B$，如图，在程序$A$中的$\triangle$处输入一个正整数，则程序自动在$□$处填补出一个比$\triangle$处的数大$1$的数并显示计算结果，同时程序$B$会复制程序$A$中相应位置的数值完成程序$B$的计算并显示计算结果。例：$\triangle$处输入$1$，则程序$A$完成运算$\frac{1}{1×2} = \frac{1}{2}$，程序$B$完成运算$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
探究 若$\triangle$处输入数$2$，则程序$A$的结果为$\frac{1}{6}$，程序$B$的结果为$\frac{1}{6}$；若$\triangle$处输入数$5$，则程序$A$的结果为$\frac{1}{30}$，程序$B$的结果为$\frac{1}{30}$；若$\triangle$处输入数$100$，设程序$A$的结果为$a$，则$a$=$\frac{1}{100} - \frac{1}{101}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
应用 请利用“探究”中发现的结论证明$\frac{1}{n(n + 1)} + \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{2}{n(n + 2)}$。

答案： 18.探究 解:$\frac{1}{6}$ - $\frac{1}{6}$ - $\frac{1}{30}$ = $\frac{1}{30}$ 5分
应用 证明:若△处输入的数为n(n为正整数)，则程序A的结果为$\frac{1}{n(n + 1)}$，程序B的结果为$\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$ = $\frac{n + 1}{n(n + 1)}$ - $\frac{n}{n(n + 1)}$ = $\frac{1}{n(n + 1)}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$.6分
同理可得$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{1}{n + 1}$ - $\frac{1}{n + 2}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ + $\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 1}$ + $\frac{1}{n + 1}$ - $\frac{1}{n + 2}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n + 2}$ = $\frac{n + 2}{n(n + 2)}$ - $\frac{n}{n(n + 2)}$ = $\frac{2}{n(n + 2)}$，
∴$\frac{1}{n(n + 1)}$ + $\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$ = $\frac{2}{n(n + 2)}$成立.8分