《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

20. (本小题满分9分)
如图，已知直线$l_{1}$经过点A(0,4)，B(1,2)，直线$l_{2}:y = kx - 3(k\neq 0)$.
(1)求直线$l_{1}$的解析式，并判断点M(-1,7)是否在直线$l_{1}$上；
(2)若$k = 1$，直线$l_{2}$与x轴交于点C，直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点P.
①点P的坐标为($\frac{7}{3}$，−$\frac{2}{3}$)；
②求$\triangle CPA$的面积；
(3)直线$l_{1}$上有两点Q(-2,m)，$R(\frac{1}{2},n)$，若直线$l_{2}$与线段QR有交点，直接写出k的取值范围.

答案： 20.解:
(1)设直线l₁的解析式为y = ax + b(a≠0).
将A(0,4),B(1,2)代入，
得$\begin{cases}b = 4 \\a + b = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 2 \\b = 4 \end{cases}$
∴直线l₁的解析式为y = −2x + 4. 4分
在y = −2x + 4中,当x = −1时,y = 6≠7,
∴点M(−1,7)不在直线l₁上. 5分
(2)①($\frac{7}{3}$，−$\frac{2}{3}$) 6分
②设直线l₂与y轴交于点D.
在y = x−3中,当y = 0时,x = 3;当x = 0时,y = −3,
∴C(3,0),D(0,−3).
∴S△CPA = S△ACD−S△APD = $\frac{1}{2}$AD·x_{C}−$\frac{1}{2}$AD·x_{P} = $\frac{1}{2}$×7×3−$\frac{1}{2}$×7×$\frac{7}{3}$ = $\frac{7}{3}$. 7分
(3)k≥12或k≤−$\frac{11}{2}$. 9分

21. （本小题满分8分）
如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 6cm$，$AC = 8cm$，点E在AC上，以CE为直径的$\odot O$经过AB上的点D，且$BD = BC$.
（1）求证：AB是$\odot O$的切线；
（2）求$\odot O$的半径；
（3）将$Rt\triangle ABC$沿射线BC方向平移1 cm，如图2，$\odot O$与BC切于点F，与AC交于P，Q两点，与AB交于M，N两点，求MN的长.

答案：
21.
(1)证明:如图1,连接OD,OB.
在△OBD和△OBC中，$\begin{cases}BD = BC \\OD = OC \\OB = OB \end{cases}$
∴△OBD≌△OBC(SSS).
∴∠ODB = ∠ACB = 90°，即OD⊥BD.
∵OD为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线. 2分
(2)解:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,BC = 6cm,AC = 8cm,
∴tanA = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{3}{4}$，AB = $\sqrt{AC² + BC²}$ = 10cm.
∵BD = BC = 6cm,
∴AD = AB−BD = 4cm.
在Rt△OAD中,OD = AD·tanA = 4×$\frac{3}{4}$ = 3(cm)，
即⊙O的半径为3cm. 5分


(3)解:如图2,过点O作AB的垂线,交⊙O于点K,交AB于点G,过点K作KH//BC交AB于点H,连接OM,则∠KGH = ∠OGM = 90°,∠KHG = ∠B,MN = 2MG.
∴sin∠KHG = sinB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{4}{5}$
由平移可知KH = 1cm,
在Rt△KGH中,KG = KH·sin∠KHG = $\frac{4}{5}$cm,
∴OG = OK−KG = $\frac{11}{5}$cm.
在Rt△OGM中,MG = $\sqrt{OM²−OG²}$ = $\frac{2\sqrt{26}}{5}$cm.
∴MN = 2MG = $\frac{4\sqrt{26}}{5}$cm. 8分