《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (本小题满分12分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P，Q分别是AB，BC的中点，点E是折线段PA—AD上一点。
(1)点C到直线EQ距离的最大值是5；
(2)如图2，以EQ的长为直径，以EQ的中点O为圆心，在EQ的右侧作半圆O。
①当半圆O经过点D时，求半圆O被边BC所在直线截得的弧长；(参考数据：$\tan 39° \approx \frac{4}{5}$，$\sin 53° \approx \frac{4}{5}$)
②当半圆O与边AD相切时，设切点为M，求$\tan ∠OAM$的值；
(3)沿EQ所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为B'。若点B'恰好落在矩形的边AD上，直接写出AE的长。

答案：
24.解:
(1)5 2分
(2)①如图1,当半圆O经过点D时,点E恰好在点D处.

∵∠DCQ = 90°,
∴点C在半圆O上.
连接OC.
在Rt△DCQ中,DC = 4,CQ = 5,
∴DQ = $\sqrt{DC^2+CQ^2}=\sqrt{41}$,$\tan∠DQC=\frac{DC}{CQ}=\frac{4}{5}$.
∴∠DQC≈39°.
∴∠QOC = 180° - 2∠DQC = 102°.
∴$l_{CQ}=\frac{102×\pi×\frac{\sqrt{41}}{2}}{180}=\frac{17\sqrt{41}}{60}\pi$. 6分
②情况一:如图2,当点E在PA上时,连接OM,延长MO交BC于点N,连接OA.

∵AD与半圆相切于点M,
∴∠AMN = 90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD = ∠B = 90°.
∴四边形AMNB是矩形.
∴MN//AB,MN = AB = 4,AM = BN.
∵OE = OQ,
∴BN = NQ = $\frac{5}{2}$.
设OQ = r.
∵$OQ^2=ON^2+NQ^2$,
∴$r^2=(4 - r)^2+(\frac{5}{2})^2$.解得r = $\frac{89}{32}$.
∴OM = OQ = $\frac{89}{32}$.
∵AM = BN = $\frac{5}{2}$,
∴$\tan∠OAM=\frac{OM}{AM}=\frac{\frac{89}{32}}{\frac{5}{2}}=\frac{89}{80}$. 8分
情况二:如图3,当点E在AD上时,点M与点E重合,连接OA.

∵AD与半圆相切于点M,
∴∠AMO = 90°.
∴四边形AMQB是矩形.
∴AM = BQ = 5,OM = $\frac{1}{2}$MQ = $\frac{1}{2}$AB = 2.
∴$\tan∠OAM=\frac{OM}{AM}=\frac{2}{5}$.
综上,$\tan∠OAM$的值为$\frac{89}{80}$或$\frac{2}{5}$. 10分
(3)AE的长为$\frac{3}{2}$或3. 12分