《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

13. (2025·四川广安)在平面直角坐标系中，已知点$A$的坐标为$(a,b)$，且$a$，$b$满足$(a - 2)^{2}+|b + 3| = 0$，则点$A$在第四象限.

答案： 13.四

14. (2025·山东东营)分解因式：$2m^{3}-12m^{2}+18m =$2m(m-3)^2.

答案： $14.2m(m-3)^2$

15. (2025·四川眉山)如图，在平面直角坐标系中，用$12$个以点$O$为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案. 若$OA = 1$，$\angle OAB = 90^{\circ}$，则点$G$的坐标为(-64/27,0).

答案： 15.(-$\frac{64}{27}$,0) 解析:本题考查相似三角形的性质、解直角三角形、点的坐标变化规律.
∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案,
∴∠AOB=$\frac{360°}{12}=30°$.
∵OA = 1,∠OAB = 90°,
∴OB=$\frac{OA}{cos30°}=1×\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∵∠BOC = 30°,∠OBC = 90°,
∴OC=$\frac{OB}{cos30°}=1×(\frac{2}{\sqrt{3}})^2$，同理OD=$\frac{OC}{cos30°}=1×(\frac{2}{\sqrt{3}})^3$，……，OG = 1×$(\frac{2}{\sqrt{3}})^6=\frac{64}{27}$，
∴点G的坐标为(-$\frac{64}{27}$,0).

16. (2025·陕西)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 8$，$\angle B = 60^{\circ}$，动点$M$，$N$分别在边$AB$，$AD$上，且$AM = AN$，以$MN$为边作等边三角形$MNP$，使点$P$始终在$□ ABCD$的内部或边上，当$\triangle MNP$的面积最大时，$DN$的长为5.

答案：
16.5 解析:本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质.在▱ABCD中,AB = 6,AD = 8,∠B = 60°,则∠BAD = 180° - 60° = 120°.
∵△MNP是等边三角形,
∴MP = NP = MN,∠MPN = 60°，$S_{\triangle MNP}=\frac{\sqrt{3}}{4}MP^2$.如图,连接AP.
∵AM = AN,MP = NP,AP = AP,
∴△AMP≌△ANP(SSS),
∴∠1 = ∠2 = 60°,∠3 = ∠4 = 30°,
∴∠AMP = 180° - ∠1 - ∠3 = 90°,点P在∠BAD的平分线上,
∴MP=$\frac{\sqrt{3}}{2}AP$，$S_{\triangle MNP}=\frac{3\sqrt{3}}{16}AP^2$，
∴当AP最大时,△MNP的面积最大.根据题意可得当点P在BC上时,AP最大,此时,△ABP是等边三角形.
∵PM⊥AB,
∴BM = AM = 3,
∴AN = AM = 3,
∴DN = AD - AN = 5.

17. (2025·廊坊广阳区一模)(本小题满分7分)
佳佳和琪琪分别解方程$\frac{x}{x - 2}-\frac{x - 3}{2 - x}=1$的过程如下：
佳佳：
解：去分母，得$x - (x - 3) = x - 2$.
去括号，得$x - x + 3 = x - 2$.
合并同类项，得$3 = x - 2$.
解得$x = 5$.
$\therefore$原方程的解是$x = 5$.
琪琪：
解：去分母，得$x + (x - 3) = 1$.
去括号，得$x + x - 3 = 1$.
合并同类项，得$2x - 3 = 1$.
解得$x = 2$.
经检验，$x = 2$是方程的增根，原方程无解.
你认为佳佳和琪琪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.

答案： 17.解:佳佳和琪琪的解法都错误. 2分
方程两边同乘(x - 2),得x+(x - 3)=x - 2.
去括号,得2x - 3 = x - 2.
解得x = 1.
经检验,x = 1是原分式方程的解. 7分