《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，直线$y = \frac{4}{3}x + 8$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，过点$B$的直线交$x$轴正半轴于点$C$，且$\triangle ABC$的面积为$56$，$D$为线段$AB$的中点，点$E$为$y$轴上一动点，连接$DE$，将线段$DE$绕点$E$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$EF$，连接$DF$。
（1）求点$C$的坐标及直线$BC$的表达式；
（2）在点$E$运动的过程中，若$\triangle DEF$的面积为$5$，求此时点$E$的坐标；
（3）设点$E$的坐标为$(0,m)$。
①用$m$表示点$F$的坐标；
②在点$E$运动的过程中，若点$F$始终在$\triangle ABC$的内部（包括边界），直接写出满足条件的$m$的取值范围。

答案：
23.解:
(1)对于y = $\frac{4}{3}$x + 8，令x = 0，则y = 8，
∴B(0，8)，
∴OB = 8.令y = 0，则x = -6，
∴A(-6，0).
∵△ABC的面积为56，
∴$\frac{1}{2}$OB·AC = 56，
∴AC = 14，
∴C(8，0).设直线BC的表达式为y = kx + b(k ≠ 0).将B(0，8)和C(8，0)代入，得$\begin{cases}b = 8\\8k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 8\end{cases}$，
∴直线BC的表达式为y = -x + 8.4分
(2)设E(0，t).
∵DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，
∴DE = EF，∠DEF = 90°.
∵△DEF的面积为5，
∴$\frac{1}{2}$DE² = 5，
∴DE = $\sqrt{10}$(负值已舍去).
∵D为线段AB的中点，
∴D(-3，4).
∴$\sqrt{10}$ = $\sqrt{9 + (t - 4)^2}$，
∴t = 3或t = 5.
∴E(0，3)或E(0，5).6分
(3)①过点D作DG⊥y轴于点G，过点F作FH⊥y轴于点H，则∠DGE = ∠EHF = 90°.
∴∠EFH + ∠FEH = 90°.
∵DE = EF，∠DEF = 90°，
∴∠DEG + ∠FEH = 90°，
∴∠DEG = ∠EFH，
∴△DEG≌△EFH(AAS).
∴DG = EH = 3，EG = FH.如图1，FH = EG = m - 4，OH = m + 3，
∴F(4 - m，m + 3).如图2，FH = EG = 4 - m，OH = m + 3，
∴F(4 - m，m + 3).

综上所述，F(4 - m，m + 3).10分
② - 3≤m≤$\frac{31}{7}$ 12分